Obtenha a série de Maclaurin para a função seno hiperbólico, derivando a série de Maclaurin para a função co-seno hiperbólico. Também, derive a série de Maclaurin para a função seno hiperbólico, de modo a obter a série da função co-seno hiperbólico.

Passo 1

O enunciado pede para obter a série de Maclaurin de \operatorname{sinh}(x) derivando a série de Maclaurin de \operatorname{cosh}(x) e, em seguida, derivar a série de \operatorname{sinh}(x) para recuperar a série de \operatorname{cosh}(x). O conteúdo principal envolve funções hiperbólicas e diferenciação termo a termo de séries de potência.

Passo 2

A série de Maclaurin de \operatorname{cosh}(x) é conhecida:
\operatorname{cosh}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!}.
Para obter a série de \operatorname{sinh}(x), vamos diferenciar termo a termo, lembrando que \frac{d}{dx}\operatorname{cosh}(x)=\operatorname{sinh}(x).

Passo 3

Diferenciando cada termo de
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!}
obtemos
\frac{d}{dx}\biggl(\frac{x^{2n}}{(2n)!}\biggr) =\frac{2n\,x^{2n-1}}{(2n)!} =\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!},
para n\ge1. Logo
\operatorname{sinh}(x) =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!} =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}.

Passo 4

Agora, para recuperar a série de \operatorname{cosh}(x) a partir de \operatorname{sinh}(x), usamos \frac{d}{dx}\operatorname{sinh}(x)=\operatorname{cosh}(x) e diferenciamos
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}.
Temos
\frac{d}{dx}\biggl(\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}\biggr) =\frac{(2k+1)\,x^{2k}}{(2k+1)!} =\frac{x^{2k}}{(2k)!},
logo
\operatorname{cosh}(x) =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k}}{(2k)!}.

Resposta

A série de Maclaurin de \operatorname{sinh}(x) é
\operatorname{sinh}(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!},
e a série de Maclaurin de \operatorname{cosh}(x) é
\operatorname{cosh}(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k}}{(2k)!}.