Um pêndulo é liberado em \theta=\pi / 3, sendo dada a ele uma velocidade angular inicial de \omega_{0} \mathrm{rad} / \mathrm{s}. Determine sob quais condições o movimento resultante é periódico.

Passo 1

O enunciado dá um pêndulo de comprimento L solto a partir de \theta_{0}=\pi/3 com velocidade angular inicial \omega_{0}. Pergunta-se em que condições o movimento é periódico. O conteúdo necessário é conservação de energia mecânica e análise das órbitas no espaço de fase (\theta,\dot\theta).

Passo 2

Escrevemos a energia mecânica total E (constante) escolhendo V=0 em \theta=0. Temos
E = T + V = \tfrac12\,mL^2\dot\theta^2 + mgL\bigl(1-\cos\theta\bigr).

Passo 3

No instante inicial \theta=\theta_{0}=\pi/3, \dot\theta=\omega_{0}. Logo
E = \tfrac12\,mL^2\omega_{0}^2 + mgL\bigl(1-\cos(\pi/3)\bigr) = \tfrac12\,mL^2\omega_{0}^2 + mgL\cdot\tfrac12.

Passo 4

A energia crítica que separa os tipos de movimento (a chamada separatriz) ocorre quando o pêndulo chega exatamente a \theta=\pi com \dot\theta=0. Isso dá
E_{\rm crit} = mgL\bigl(1-\cos\pi\bigr) = mgL\,(1-(-1)) = 2\,mgL.

Passo 5

Analisando o espaço de fase:
  • Se E<E_{\rm crit}, a órbita é fechada em torno de \theta=0: oscilações periódicas.
  • Se E>E_{\rm crit}, a órbita é fechada em \theta módulo 2\pi: rotações periódicas.
  • Se E=E_{\rm crit}, a órbita é a separatriz, o pêndulo chega assintoticamente a \theta=\pi e o período vai a infinito (não é periódico).

Passo 6

Igualando E=E_{\rm crit} obtemos a condição crítica em \omega_{0}:
\tfrac12\,mL^2\omega_{0}^2 + \tfrac12\,mgL = 2\,mgL \;\Longrightarrow\; \tfrac12\,L\,\omega_{0}^2 + \tfrac12\,g = 2\,g \;\Longrightarrow\; \omega_{0}^2 = \tfrac{3g}{L}.

Passo 7

Conclusão sobre periodicidade em termos de \omega_{0}:
\omega_{0}^2 \neq \frac{3g}{L} \quad\Longrightarrow\quad \text{movimento periódico},ó
com
|\omega_{0}| < \sqrt{\tfrac{3g}{L}} \;\Longrightarrow\; \text{oscilações}, \qquad |\omega_{0}| > \sqrt{\tfrac{3g}{L}} \;\Longrightarrow\; \text{rotações}.çõçõ

Resposta

O movimento é periódico sempre que
\omega_{0}^2 \neq \frac{3g}{L}.
Em particular, para
|\omega_{0}| < \sqrt{\frac{3g}{L}}
há oscilações periódicas, e para
|\omega_{0}| > \sqrt{\frac{3g}{L}}
há rotações periódicas.