Um pêndulo é liberado em
, sendo dada a ele uma velocidade angular inicial de
. Determine sob quais condições o movimento resultante é periódico.
Passo 1
O enunciado dá um pêndulo de comprimento
solto a partir de
com velocidade angular inicial
. Pergunta-se em que condições o movimento é periódico. O conteúdo necessário é conservação de energia mecânica e análise das órbitas no espaço de fase
.
Passo 2
Escrevemos a energia mecânica total
(constante) escolhendo
em
. Temos
Passo 3
No instante inicial
,
. Logo
Passo 4
A energia crítica que separa os tipos de movimento (a chamada separatriz) ocorre quando o pêndulo chega exatamente a
com
. Isso dá
Passo 5
Analisando o espaço de fase:
- Se
, a órbita é fechada em torno de : oscilações periódicas. - Se
, a órbita é fechada em módulo : rotações periódicas. - Se
, a órbita é a separatriz, o pêndulo chega assintoticamente a e o período vai a infinito (não é periódico).
Passo 6
Igualando
obtemos a condição crítica em
:
Passo 7
Conclusão sobre periodicidade em termos de
:
com
Resposta
O movimento é periódico sempre que
Em particular, para
há oscilações periódicas, e para
há rotações periódicas.