O que se pode dizer sobre os valores de uma função contínua em um intervalo fechado?

Passo 1

O enunciado pergunta o que podemos afirmar sobre os valores de uma função contínua f definida em um intervalo fechado [a,b]. Para responder, vamos usar três resultados clássicos de análise em intervalos compactos: o Teorema do Valor Extremo, o Teorema do Valor Intermediário e o Teorema de Heine–Cantor (continuidade uniforme).

Passo 2

Como [a,b] é compacto (fechado e limitado) e f é contínua, o Teorema do Valor Extremo diz que f é limitada e atinge seu valor máximo e mínimo em pontos do próprio intervalo. Em outras palavras, existem x_{\min},x_{\max}\in[a,b] tais que
f(x_{\min})=\min_{x\in[a,b]}f(x), \qquad f(x_{\max})=\max_{x\in[a,b]}f(x).

Passo 3

Ainda pelo fato de f ser contínua em [a,b], vale o Teorema do Valor Intermediário: se L é qualquer valor entre f(a) e f(b), isto é,
\min\{f(a),f(b)\}\le L\le\max\{f(a),f(b)\},
então existe c\in[a,b] tal que f\text{(c)}=L. Assim f assume todos os valores entre f(a) e f(b).

Passo 4

Por fim, como toda função contínua num conjunto compacto é uniformemente contínua (Teorema de Heine–Cantor), para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, para quaisquer x,y\in[a,b],
|x-y|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-f(y)|<\varepsilon.

Resposta

Uma função contínua em um intervalo fechado [a,b] é limitada, atinge seu máximo e mínimo em [a,b], satisfaz o Teorema do Valor Intermediário (assume todos os valores entre f(a) e f(b)) e é uniformemente contínua.