O que se pode dizer sobre os valores de uma função contínua em um intervalo fechado?
Passo 1
O enunciado pergunta o que podemos afirmar sobre os valores de uma função contínua
definida em um intervalo fechado
. Para responder, vamos usar três resultados clássicos de análise em intervalos compactos: o Teorema do Valor Extremo, o Teorema do Valor Intermediário e o Teorema de Heine–Cantor (continuidade uniforme).
Passo 2
Como
é compacto (fechado e limitado) e
é contínua, o Teorema do Valor Extremo diz que
é limitada e atinge seu valor máximo e mínimo em pontos do próprio intervalo. Em outras palavras, existem
tais que
Passo 3
Ainda pelo fato de
ser contínua em
, vale o Teorema do Valor Intermediário: se
é qualquer valor entre
e
, isto é,
então existe
tal que
. Assim
assume todos os valores entre
e
.
Passo 4
Por fim, como toda função contínua num conjunto compacto é uniformemente contínua (Teorema de Heine–Cantor), para todo
existe
tal que, para quaisquer
,
Resposta
Uma função contínua em um intervalo fechado
é limitada, atinge seu máximo e mínimo em
, satisfaz o Teorema do Valor Intermediário (assume todos os valores entre
e
) e é uniformemente contínua.