Pelos pontos A e B de uma reta traçam-se perpendiculares à reta. Sobre elas tomam-se os segmentos A C=13 cm e B D=7 cm. No segmento A B=25 cm toma-se um ponto P tal que os angulos A P C e B P D sejam congruentes. Calcule a medida de AP.

Passo 1

Temos uma reta com dois pontos A e B tais que AB=25 cm. Em A e B traçam-se perpendiculares à reta, definindo os pontos C e D com AC=13 cm e BD=7 cm. No segmento AB escolhemos um ponto P de modo que
ang<= APC cong ang<= BPD
O conteúdo é geometria analítica aplicada a ângulos: vamos usar coordenadas e o produto escalar para expressar cada cosseno de ângulo em função de AP=x e igualá-los.

Passo 2

Escolhemos o eixo x ao longo de AB e o eixo y perpendicular:
A=(0,0), B=(25,0), C=(0,13), D=(25,7), P=(x,0),
onde 0<x<25 e AP=x. No ponto P, os vetores
PA=(-x,0) e PC=(-x,13) formam o ângulo ang<= APC. Pelo produto escalar,
cos(ang<= APC) =PAcdotPC|PA|;|PC| =x^2xraizx^2+13^2 =xraizx^2+169

Passo 3

Analogamente, no vértice P para o ângulo ang<= BPD usamos
PB=(25-x,0) e PD=(25-x,7), obtendo
cos(ang<= BPD) =(25-x)^2(25-x)raiz(25-x)^2+7^2 =25-xraiz(25-x)^2+49

Passo 4

Pela condição ang<= APC=ang<= BPD impomos
xraizx^2+169 =25-xraiz(25-x)^2+49
Elevando ao quadrado e simplificando, chega-se a
49,x^2 ;=;169,(25-x)^2

Passo 5

Desenvolvendo
49x^2 =169l(625 -50x +x^2r) ;Longrightarrow; 24x^2 -1690x +21125 =0
O discriminante é
De<a =1690^2 -4cdot24cdot21125 =910^2,
logo as raízes são
x = 1690pm91048 ;Longrightarrow; x1 =260048approx54,17, x2 =78048=16,25
Como P deve ficar entre A e B, escolhemos x=16,25.

Resposta

AP = 16,25 cm

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