Pelos pontos A e B de uma reta traçam-se perpendiculares à reta. Sobre elas tomam-se os segmentos A C=13 cm e B D=7 cm. No segmento A B=25 cm toma-se um ponto P tal que os angulos A P C e B P D sejam congruentes. Calcule a medida de AP.

Passo 1

Temos uma reta com dois pontos ang<= APC cong ang<= BPD e tais que . Em e traçam-se perpendiculares à reta, definindo os pontos e com e . No segmento escolhemos um ponto de modo que
O conteúdo é geometria analítica aplicada a ângulos: vamos usar coordenadas e o produto escalar para expressar cada cosseno de ângulo em função de e igualá-los.

Passo 2

Escolhemos o eixo A=(0,0), B=(25,0), C=(0,13), D=(25,7), P=(x,0), ao longo de cos(ang<= APC) =PAcdotPC|PA|;|PC| =x^2xraizx^2+13^2 =xraizx^2+169 e o eixo perpendicular:
onde e . No ponto , os vetores
e formam o ângulo . Pelo produto escalar,

Passo 3

Analogamente, no vértice cos(ang<= BPD) =(25-x)^2(25-x)raiz(25-x)^2+7^2 =25-xraiz(25-x)^2+49 para o ângulo usamos
e , obtendo

Passo 4

Pela condição xraizx^2+169 =25-xraiz(25-x)^2+49 impomos
49,x^2 ;=;169,(25-x)^2
Elevando ao quadrado e simplificando, chega-se a

Passo 5

Desenvolvendo
49x^2 =169l(625 -50x +x^2r) ;Longrightarrow; 24x^2 -1690x +21125 =0
O discriminante é
De
logo as raízes são
x = 1690pm91048 ;Longrightarrow; x1 =260048approx54,17, x2 =78048=16,25
Como deve ficar entre e , escolhemos .

Resposta