Uma população cresce de acordo com a equação logística dada, onde
é medido em semanas.
(a) Qual é a capacidade de suporte? Qual é o valor de
?
(b) Escreva a solução dessa equação.
(c) Qual é a população depois de 10 semanas?
\frac{d P}{d t}=0,04 P\left(1-\frac{P}{1200}\right), P(0)=60
(a) Qual é a capacidade de suporte? Qual é o valor de
(b) Escreva a solução dessa equação.
(c) Qual é a população depois de 10 semanas?
\frac{d P}{d t}=0,04 P\left(1-\frac{P}{1200}\right), P(0)=60
Passo 1
O enunciado dá a equação logística
com condição inicial . O conteúdo é equações diferenciais de crescimento logístico; vamos identificar a capacidade de suporte
e a taxa
, resolver a equação por separação de variáveis e, por fim, calcular
.
com condição inicial
Passo 2
Comparando com o modelo padrão
vemos que
Passo 3
Separamos variáveis e integramos:
A solução geral é
Para achar
, usamos
:
Passo 4
Substituindo
,
e
, obtemos a solução explícita:
Passo 5
Para
semanas:
Resposta
(a)
,
.
(b)
(c)
(b)
(c)