Uma população cresce de acordo com a equação logística dada, onde t é medido em semanas.
(a) Qual é a capacidade de suporte? Qual é o valor de k ?
(b) Escreva a solução dessa equação.
(c) Qual é a população depois de 10 semanas?
\frac{d P}{d t}=0,04 P\left(1-\frac{P}{1200}\right), P(0)=60

Passo 1

O enunciado dá a equação logística \displaystyle \frac{dP}{dt} = 0,04\,P\Bigl(1 - \frac{P}{1200}\Bigr)
com condição inicial P(0)=60. O conteúdo é equações diferenciais de crescimento logístico; vamos identificar a capacidade de suporte K e a taxa k, resolver a equação por separação de variáveis e, por fim, calcular P(10).

Passo 2

Comparando com o modelo padrão
\frac{dP}{dt} = k\,P\Bigl(1 - \frac{P}{K}\Bigr),
vemos que
K = 1200, \quad k = 0,04.

Passo 3

Separamos variáveis e integramos:
\frac{dP}{P\,(1 - P/K)} = k\,dt.
A solução geral é
P(t) = \frac{K}{1 + C\,e^{-k t}}.
Para achar C, usamos P(0)=60:
C = \frac{K}{P(0)} - 1 = \frac{1200}{60} - 1 = 19.

Passo 4

Substituindo K, k e C, obtemos a solução explícita:
P(t) = \frac{1200}{1 + 19\,e^{-0,04\,t}}.

Passo 5

Para t=10 semanas:
P(10) = \frac{1200}{1 + 19\,e^{-0,4}} \approx 87,4.

Resposta

(a) K=1200, k=0,04.
(b) \displaystyle P(t)=\frac{1200}{1 + 19\,e^{-0,04\,t}}.
(c) \displaystyle P(10)=\frac{1200}{1 + 19\,e^{-0,4}}\approx 87,4.