Por que é possível usar a análise complexa para modelar e resolver os problemas de potencial? Para quais dimensões?
Passo 1
O enunciado pergunta por que podemos recorrer à análise complexa para formular e resolver problemas de potencial (isto é, problemas regidos pela equação de Laplace) e a que dimensões tal abordagem se aplica. Para isso vamos ver que uma função analítica em
gera funções harmônicas em duas variáveis reais, justamente as que satisfazem a equação de Laplace em duas dimensões.
Passo 2
Num problema de potencial buscamo uma função escalar
que satisfaça a equação de Laplace
Funções que satisfazem essa condição chamam-se harmônicas e aparecem em eletrostática, escoamentos incompressíveis, condução de calor em regime permanente, etc.
Passo 3
Na teoria de funções de variável complexa, se
é diferenciável holomorfa em alguma região do plano então, escrevendo
as partes real
e imaginária
satisfazem as equações de Cauchy–Riemann
Aplicando derivadas cruzadas nessas iguais mostra-se que tanto
quanto
resolvem
ou seja, são funções harmônicas.
Passo 4
Podemos então definir o potencial complexo
onde
é a nossa função de potencial físico e
é a conjugada harmônica (por exemplo, função de corrente em escoamentos). As linhas de nível de
(equipotenciais) e de
(linhas de corrente) são ortogonais, o que coincide com o comportamento físico esperado.
Passo 5
Além disso, a propriedade de mapeamento conforme de funções analíticas permite transformar geometrias complicadas em outras mais simples (e resolver lá), para depois voltar à geometria original via função inversa. Isso é um artifício poderoso na resolução de contornos não triviais.
Passo 6
Todo esse aparato baseia-se em propriedades da variável complexa, isto é, em duas dimensões reais
. Em três ou mais dimensões não existe um análogo direto da análise complexa com parte real e imaginária gerando todas as harmônicas. Logo, essa técnica é aplicável a problemas bidimensionais (ou a casos axisimétricos que possam ser reduzidos a 2D).
Resposta
É possível usar análise complexa porque funções holomorfas têm partes real e imaginária que são soluções da equação de Laplace em duas variáveis (são harmônicas), o que coincide com a modelagem de potenciais em 2D. Essa abordagem vale estritamente para problemas em duas dimensões (ou situações reduzidas a 2D, como escoamentos axisimétricos).