Prob 6.1: Calcule a área da superfície de revolução gerada pela rotação em torno do eixo x da curva:
y=x^3 para x in[0,1].

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície gerada pela rotação da curva y=x^3, xin[0,1], em torno do eixo x. O conteúdo usado é a fórmula de área de superfície de revolução:
S = integrala^b 2pi,y,raiz1+l(y'r)^2,dx
Vamos precisar calcular a derivada y' e montar o integral.

Passo 2

Da função y=x^3 vem
y'=dydx=3x^2
Substituindo na fórmula:
S = 2pi integral0^1 x^3 raiz1+(3x^2)^2,dx =2pi integral0^1 x^3 raiz1+9x^4,dx

Passo 3

Para avaliar
integral0^1 x^3 raiz1+9x^4,dx
fazemos a substituição
u = 1 + 9x^4, du = 36x^3,dx Longrightarrow x^3,dx = du36
Quando x=0, u=1; quando x=1, u=10. Então
integral0^1 x^3 raiz1+9x^4,dx = integral1^10 raizu,du36 = 136integral1^10 u^1/2,du

Passo 4

Calculando o integral em u:
136integral1^10 u^1/2,du =136cdot23l[u^3/2r]1^10 =154l(10^3/2-1r) =154l(10raiz10-1r)
Multiplicando por 2pi:
S = 2pi cdot 154l(10raiz10-1r) =pi27l(10raiz10-1r)

Resposta

S = pi27l(10raiz10-1r)