Qual é a probabilidade de uma mão de 13 cartas não conter pares?

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de, ao escolher 13 cartas aleatórias de um baralho de 52, não aparecer nenhum par, isto é, todos os 13 cards têm ranks distintos. O conteúdo é probabilidade clássica por contagem de casos favoráveis sobre casos totais.

Passo 2

O número total de maneiras de escolher 13 cartas de 52 é dado por
N_{\text{total}} = \binom{52}{13}.

Passo 3

Para não haver pares, precisamos de 13 ranks distintos. Primeiro escolhemos quais 13 ranks (há \binom{13}{13} maneiras, mas isso vale 1) e, para cada rank escolhido, escolhemos 1 das 4 cartas (4 naipes). Logo o número de mãos sem pares é
N_{\text{fav}} = \binom{13}{13}\times 4^{13} = 4^{13}.

Passo 4

A probabilidade procurada é
P = \frac{N_{\text{fav}}}{N_{\text{total}}} = \frac{4^{13}}{\binom{52}{13}}.

Passo 5

Se quisermos um valor aproximado, note que 4^{13}=67\,108\,864 e \binom{52}{13}\approx6,3501\times10^{11}, daí
P\approx\frac{6,7\times10^{7}}{6,35\times10^{11}}\approx1,06\times10^{-4}.

Resposta

\boxed{P = \frac{4^{13}}{\binom{52}{13}}\approx1,06\times10^{-4}.}