Nos Problemas 3 a 36, determine a integral indicada e verifique se os cálculos estão corretos derivando o resultado.
\int(2 x+6)^{5} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int (2x+6)^5\,dx
Este é um caso típico de integração por substituição, pois temos uma função composta (2x+6)^5 cuja derivada interna é constante. Para resolver, faremos u-substituição e depois verificaremos o resultado derivando-o.

Passo 2

Definimos a substituição
u = 2x + 6.
Então a diferencial de u é
du = 2\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \tfrac{1}{2}\,du.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
\int (2x+6)^5\,dx = \int u^5 \cdot \tfrac{1}{2}\,du = \tfrac{1}{2}\,\int u^5\,du.

Passo 4

Agora integramos em u:
\int u^5\,du = \frac{u^6}{6} + C.
Logo
\tfrac{1}{2}\,\int u^5\,du = \tfrac{1}{2}\,\Bigl(\frac{u^6}{6}\Bigr) + C = \frac{u^6}{12} + C.

Passo 5

Voltando à variável x (substituindo u=2x+6), obtemos
\int (2x+6)^5\,dx = \frac{(2x+6)^6}{12} + C.

Passo 6

Verificação por derivação: seja
F(x) = \frac{(2x+6)^6}{12}.
Usando a regra da cadeia,
F'(x) = \frac{1}{12}\cdot 6\,(2x+6)^{5}\cdot \frac{d}{dx}(2x+6) = \frac{6}{12}\,(2x+6)^{5}\cdot 2 = (2x+6)^{5}.
Isso coincide com o integrando original, confirmando que o resultado está correto.

Resposta

\frac{(2x+6)^6}{12} + C.