Nos Problemas 5 a 20, determine os intervalos em que a função é crescente e decrescente e os intervalos em que a concavidade da curva da função é para cima e para baixo. Plote a função e assinale o maior número possível de elementos importantes, como máximos e mínimos, pontos de inflexão, assíntotas verticais e horizontais, pontos de interseção com os eixos
e y, cúspides e tangentes verticais.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede os intervalos de crescimento e decrescimento, os de concavidade para cima e para baixo, além de identificar no gráfico máximos, mínimos, pontos de inflexão, assíntotas, interseções com os eixos, cúspides e tangentes verticais. Vamos usar cálculo de derivadas e análise de limites.
Passo 2
Calculamos a primeira derivada para estudar monotonicidade.
Como
para todo
, conclui-se que
em
.
Passo 3
Da positividade de
segue que
é estritamente crescente em toda a reta real. Não há intervalo de decrescimento nem pontos críticos, logo não existem máximos ou mínimos locais.
Passo 4
Para a concavidade, calculamos a segunda derivada:
Como
para todo
, a curva é côncava para cima em
, não havendo concavidade para baixo nem pontos de inflexão.
Passo 5
Analisamos agora assíntotas e interseções:
– Limite em :
– Limite em
logo há assíntota horizontal
.
– Limite em :
– Limite em
sem assíntota horizontal à direita. Não há assíntotas verticais pois o domínio é
todo.
– Interseção com o eixo : em
,
, ponto
.
– Interseção com o eixo : solução de
não existe (pois
).
– Interseção com o eixo
– Interseção com o eixo
Resposta
Crescente em
; sem decrescimento.
Côncava para cima em ; sem concavidade para baixo nem ponto de inflexão.
Assíntota horizontal em .
Interseção com eixo :
.
Não há interseção com eixo , nem máximos, mínimos, cúspides ou tangentes verticais.
Côncava para cima em
Assíntota horizontal em
Interseção com eixo
Não há interseção com eixo