Nos Problemas 5 a 20, determine os intervalos em que a função é crescente e decrescente e os intervalos em que a concavidade da curva da função é para cima e para baixo. Plote a função e assinale o maior número possível de elementos importantes, como máximos e mínimos, pontos de inflexão, assíntotas verticais e horizontais, pontos de interseção com os eixos x e y, cúspides e tangentes verticais.
f(t)=2+e^{\mathrm{t}}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(t) = 2 + e^{t}
e pede os intervalos de crescimento e decrescimento, os de concavidade para cima e para baixo, além de identificar no gráfico máximos, mínimos, pontos de inflexão, assíntotas, interseções com os eixos, cúspides e tangentes verticais. Vamos usar cálculo de derivadas e análise de limites.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada para estudar monotonicidade.
f'(t) = \frac{d}{dt}\bigl(2 + e^{t}\bigr) = e^{t}.
Como e^{t}>0 para todo t\in\mathbb{R}, conclui-se que f'(t)>0 em \mathbb{R}.

Passo 3

Da positividade de f' segue que f é estritamente crescente em toda a reta real. Não há intervalo de decrescimento nem pontos críticos, logo não existem máximos ou mínimos locais.

Passo 4

Para a concavidade, calculamos a segunda derivada:
f''(t) = \frac{d}{dt}\bigl(e^{t}\bigr) = e^{t}.
Como e^{t}>0 para todo t, a curva é côncava para cima em \mathbb{R}, não havendo concavidade para baixo nem pontos de inflexão.

Passo 5

Analisamos agora assíntotas e interseções:
– Limite em -\infty:
\lim_{t\to -\infty}f(t) = 2 + \lim_{t\to -\infty}e^{t} = 2,
logo há assíntota horizontal y=2.
– Limite em +\infty:
\lim_{t\to +\infty}f(t) = +\infty,
sem assíntota horizontal à direita. Não há assíntotas verticais pois o domínio é \mathbb{R} todo.
– Interseção com o eixo y: em t=0, f(0)=3, ponto (0,3).
– Interseção com o eixo x: solução de 2+e^{t}=0 não existe (pois e^{t}>0).

Resposta

Crescente em \mathbb{R}; sem decrescimento.
Côncava para cima em \mathbb{R}; sem concavidade para baixo nem ponto de inflexão.
Assíntota horizontal em y=2.
Interseção com eixo y: (0,3).
Não há interseção com eixo x, nem máximos, mínimos, cúspides ou tangentes verticais.