Nos Problemas 1 a 8 determine os pontos críticos e classifique-os por meio do teste da segunda derivada.
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de
e usar o teste da segunda derivada para classificá-los. Isso envolve cálculo de derivadas parciais (gradiente) e análise do Hessiano.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais primeiras e igualamos a zero:
O sistema
é
Passo 3
Resolvendo o sistema: da segunda equação
Substituindo na primeira:
logo
O ponto crítico é
.
Passo 4
Agora calculamos as derivadas parciais segundas e o determinante do Hessiano:
O determinante do Hessiano é
Passo 5
No ponto
temos
e
. Pelo teste da segunda derivada, isso indica que
é ponto de mínimo local.
Resposta
O único ponto crítico é
e ele é um mínimo local.