Nos Problemas 1 a 8 determine os pontos críticos e classifique-os por meio do teste da segunda derivada.
z=5 x^2-3 x y+y^2-15 x-y+2.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de
z = 5x^2 - 3xy + y^2 -15x - y + 2
e usar o teste da segunda derivada para classificá-los. Isso envolve cálculo de derivadas parciais (gradiente) e análise do Hessiano.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais primeiras e igualamos a zero:
partial zpartial x = 10x - 3y - 15, partial zpartial y = -3x + 2y - 1
O sistema nabla z = 0 é
10x - 3y - 15 = 0,
-3x + 2y - 1 = 0

Passo 3

Resolvendo o sistema: da segunda equação
2y = 3x + 1Rightarrow y = 3x+12
Substituindo na primeira:
10x - 3l(3x+12r) -15 = 0 Longrightarrow 20x -9x -3 -30 =0 Longrightarrow 11x =33 Longrightarrow x=3,
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y = 3cdot3 +12 = 5
O ponto crítico é (3,5).

Passo 4

Agora calculamos as derivadas parciais segundas e o determinante do Hessiano:
partial^2zpartial x^2 = 10, partial^2zpartial y^2 = 2, partial^2zpartial xpartial y = -3
O determinante do Hessiano é
D = l(10r)cdotl(2r) - (-3)^2 = 20 - 9 = 11

Passo 5

No ponto (3,5) temos D=11>0 e partial^2zpartial x^2=10>0. Pelo teste da segunda derivada, isso indica que (3,5) é ponto de mínimo local.

Resposta

O único ponto crítico é (3,5) e ele é um mínimo local.