Nos Problemas 1-12, esboce a curva ou superfície de nível que passa pelo ponto indicado. Esboce o gradiente no ponto.
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Passo 1
O enunciado pede para esboçar a curva de nível de
que passa por
e, nesse mesmo ponto, desenhar o vetor gradiente. Vamos usar a definição de curva de nível e a fórmula do gradiente em funções de duas variáveis.
Passo 2
Calculamos o valor de
em
:
Logo, a curva de nível que nos interessa é aquela em que
.
Passo 3
Escrevendo a equação da curva de nível:
Para esboçar, note que é uma reta com interceptos em
(quando
) e em
(quando
), ou ainda
Passo 4
O gradiente de
é dado por
Em particular,
Este vetor é perpendicular à reta
e aponta na direção de maior crescimento de
.
Resposta
A curva de nível em questão é a reta
e o vetor gradiente em
é