Nos Problemas 1-12, esboce a curva ou superfície de nível que passa pelo ponto indicado. Esboce o gradiente no ponto.
  1. f(x, y)=x-2 y ;(6,1)

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a curva de nível de f(x,y)=x-2y que passa por (6,1) e, nesse mesmo ponto, desenhar o vetor gradiente. Vamos usar a definição de curva de nível e a fórmula do gradiente em funções de duas variáveis.

Passo 2

Calculamos o valor de f em (6,1):
f(6,1)=6-2cdot1=4
Logo, a curva de nível que nos interessa é aquela em que f(x,y)=4.

Passo 3

Escrevendo a equação da curva de nível:
x-2y=4
Para esboçar, note que é uma reta com interceptos em x=4 (quando y=0) e em y=-2 (quando x=0), ou ainda
y=x2-2

Passo 4

O gradiente de f é dado por
nabla f(x,y)=l(partialx f,partialy fr)=(1,,-2)
Em particular,
nabla f(6,1)=(1,-2)
Este vetor é perpendicular à reta x-2y=4 e aponta na direção de maior crescimento de f.

Resposta

A curva de nível em questão é a reta
x-2y=4
e o vetor gradiente em (6,1) é
nabla f(6,1)=(1,,-2)