Nos Problemas de 19 a 24 escreva uma integral iterada equivalente com a ordem de integração invertida e calcule ambas as integrais.
.
Passo 1
O enunciado pede para reescrever a integral dupla
invertendo a ordem de integração e em seguida calcular o valor da integral original e da invertida. O conteúdo aqui é troca de ordem em integrais iteradas, então precisamos identificar a região de integração no plano
e depois calcular cada uma.
Passo 2
A região
é dada por
Isso equivale a
pois
se e só se
. Logo a integral com ordem invertida fica
Passo 3
Calculemos primeiro a integral na ordem dada, isto é, integrar em
e depois em
.
Inner em :
Inner em
Agora a integral em
:
Passo 4
Agora calculemos a integral com a ordem invertida, isto é, em
primeiro e depois em
.
Inner em :
Inner em
Agora em
:
Passo 5
Ambas as integrais — a original e a invertida — resultam em
, confirmando que a troca de ordem foi feita corretamente.
Resposta
A integral com ordem de integração trocada é
e tanto ela quanto a forma original valem
.