Nos Problemas de 19 a 24 escreva uma integral iterada equivalente com a ordem de integração invertida e calcule ambas as integrais.
integral0^1 integralraizy^1 2 x^3 d x d y.

Passo 1

O enunciado pede para reescrever a integral dupla
integral0^1integralraizy^12x^3,dx,dy
invertendo a ordem de integração e em seguida calcular o valor da integral original e da invertida. O conteúdo aqui é troca de ordem em integrais iteradas, então precisamos identificar a região de integração no plano xy e depois calcular cada uma.

Passo 2

A região R é dada por
0<= y<=1, raizy<= x<=1
Isso equivale a
0<= x<=1, 0<= y<= x^2,
pois raizy<= x se e só se y<= x^2. Logo a integral com ordem invertida fica
integral0^1integral0^x^22x^3,dy,dx

Passo 3

Calculemos primeiro a integral na ordem dada, isto é, integrar em x e depois em y.
Inner em x:
integralraizy^12x^3,dx =l[tfrac2x^44r]x=raizy^1 =tfrac12-tfrac(raizy)^42 =tfrac12-tfracy^22
Agora a integral em y:
integral0^1l(tfrac12-tfracy^22r)dy =tfrac12integral0^1(1-y^2)dy =tfrac12l[y-tfracy^33r]0^1 =tfrac12cdottfrac23 =tfrac13

Passo 4

Agora calculemos a integral com a ordem invertida, isto é, em y primeiro e depois em x.
Inner em y:
integral0^x^22x^3,dy =2x^3l[yr]0^x^2 =2x^3cdot x^2 =2x^5
Agora em x:
integral0^12x^5,dx =l[tfrac2x^66r]0^1 =tfrac13

Passo 5

Ambas as integrais — a original e a invertida — resultam em tfrac13, confirmando que a troca de ordem foi feita corretamente.

Resposta

A integral com ordem de integração trocada é
integral0^1integral0^x^22x^3,dy,dx
e tanto ela quanto a forma original valem tfrac13.