Nos Problemas 11 a 14 , p=S(q) é o preço unitário em reais pelo qual q unidades de uma mercadoria serão produzidas e q_{0} é certo nível de produção. Em cada caso, determine o preço p_{0}=S\left(q_{0}\right) para o qual q_{0} unidades são oferecidas e calcule o excedente do produtor correspondente, EP. Trace a curva de oferta y=S(q) e sombreie a região cuja área representa o excedente do produtor.
\left.S(q)=0,3 q^{2}\right)+30 ; q=4 unidades

Passo 1

O enunciado nos dá a curva de oferta
S(q)=0,3q^{2}+30
e um nível de produção q_{0}=4.
Queremos achar:
  1. O preço de mercado p_{0}=S(q_{0}).
  2. O excedente do produtor (EP), que é a área entre o preço de mercado p_{0} e a curva de oferta, de q=0 até q=q_{0}.
  3. Desenhar a curva y=S(q) e sombrear a região do excedente.

Passo 2

Calcular o preço de mercado p_{0} em q_{0}=4:
p_{0}=S(4)=0,3\,(4)^{2}+30=0,3\cdot16+30=4{,}8+30=34{,}8\\ (\text{reais}).

Passo 3

O excedente do produtor é
\mathrm{EP}=\int_{0}^{4}\bigl[p_{0}-S(q)\bigr]\,dq =\int_{0}^{4}\bigl[34{,}8-\bigl(0,3q^{2}+30\bigr)\bigr]\,dq =\int_{0}^{4}\bigl(4{,}8-0,3q^{2}\bigr)\,dq.
Calculando a integral:
\int_{0}^{4}4{,}8\,dq=4{,}8q\Big|_{0}^{4}=4{,}8\cdot4=19{,}2,
\int_{0}^{4}0,3q^{2}\,dq=0,3\cdot\frac{q^{3}}{3}\Big|_{0}^{4} =0,1\cdot4^{3}=0,1\cdot64=6{,}4.
Logo
\mathrm{EP}=19{,}2-6{,}4=12{,}8\\ (\text{reais}).

Passo 4

A curva de oferta é a parábola y=0,3q^{2}+30, que parte de (0,30) e cresce para a direita. A reta de preço y=34{,}8 é horizontal. O excedente é a região entre essa reta e a parábola, de q=0 até q=4, sombreada no gráfico.

Resposta

p_{0}=34{,}8 reais
\mathrm{EP}=12{,}8 reais