Nos Problemas 15 a 19, são dadas as funções demanda e oferta, D(q) e S(q) para certo produto. Isso significa que q unidades do produto serão demandadas (vendidas) se o preço unitário for p=D(q) reais e q unidades serão oferecidas (fabricadas) se o preço unitário for p=S(q) reais. Em cada caso:
(a) Determine o preço de equilibrio p_{e} (para o qual a oferta é igual à demanda).
(b) Determine o excedente do consumidor e o excedente do produtor no equilibrio.
D(q)=131-\frac{1}{3} q^{2} ; S(q)=50+\frac{2}{3} q^{2}

Passo 1

O enunciado fornece as funções demanda e oferta
D(q)=131-\tfrac{1}{3}q^{2},
S(q)=50+\tfrac{2}{3}q^{2},
e pede
(a) o preço de equilíbrio p_{e}, onde oferta e demanda se igualam,
(b) o excedente do consumidor e o excedente do produtor nesse equilíbrio.
Para isso vamos primeiro achar a quantidade de equilíbrio resolvendo D(q)=S(q) e em seguida usar as definições de excedentes como áreas entre as curvas e a reta de preço.

Passo 2

Igualando demanda e oferta temos
131-\tfrac{1}{3}q^{2} \;=\;50+\tfrac{2}{3}q^{2}.
Reagrupando termos:
131-50 = \tfrac{2}{3}q^{2} + \tfrac{1}{3}q^{2} \quad\Longrightarrow\quad 81 = q^{2} \quad\Longrightarrow\quad q_{e}=9.
Substituindo em qualquer das funções para achar o preço
p_{e}=D(9)=131-\tfrac{1}{3}\cdot 9^{2}=131-27=104.

Passo 3

O excedente do consumidor é a área entre a curva de demanda e a reta p=p_{e} de q=0 até q=9:
\text{CS} = \int_{0}^{9}D(q)\,dq \;-\; p_{e}\cdot 9.
Calculando a integral:
\int_{0}^{9}\Bigl(131-\tfrac{1}{3}q^{2}\Bigr)\,dq = \Bigl[131q-\tfrac{1}{9}q^{3}\Bigr]_{0}^{9} =131\cdot 9 - \tfrac{1}{9}\cdot 9^{3} =1179 - 81 =1098.
Logo
\text{CS}=1098 - 104\cdot 9 =1098 - 936 =162.

Passo 4

O excedente do produtor é a área entre a reta p=p_{e} e a curva de oferta de q=0 a q=9:
\text{PS} = p_{e}\cdot 9 \;-\;\int_{0}^{9}S(q)\,dq.
Calculando a integral:
\int_{0}^{9}\Bigl(50+\tfrac{2}{3}q^{2}\Bigr)\,dq =\Bigl[50q+\tfrac{2}{9}q^{3}\Bigr]_{0}^{9} =50\cdot9 + \tfrac{2}{9}\cdot 9^{3} =450 + 162 =612.
Portanto
\text{PS}=104\cdot 9 - 612 =936 - 612 =324.

Resposta

(a) p_{e}=104.
(b) Excedente do consumidor =162; excedente do produtor =324.