Nos Problemas 3-10, utilize o método dessa seção para calcular
. Use esse resultado para calcular a potência indicada da matriz A.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
A^3 onde
Usaremos o método de diagonalização: encontraremos os autovalores e autovetores, montaremos
P tal que
A=PDP^-1 e então elevaremos
D ao cubo.]
Passo 2
Calculamos o polinômio característico de
A :
As raízes são
Passo 3
Agora achamos um autovetor para cada autovalor.
Paralambda1=5 , resolvemos
(A-5I)v=0 :
Para
podemos escolher
v1=(1,2)^T .
Paralambda2=-2 , resolvemos
(A+2I)v=0 :
Para
podemos escolher
v2=(-3,1)^T .]
Passo 4
Montamos
P com colunas
v1,v2 e calculamos
P^-1 .
A matriz diagonal correspondente é
Passo 5
Elevamos
D ao cubo e usamos
A^3=P,D^3,P^-1 .