Nos Problemas 3-10, utilize o método dessa seção para calcular A^ m . Use esse resultado para calcular a potência indicada da matriz A.
A=(rr-1 & 3 2 & 4) ; m=3

Passo 1

O enunciado pede para calcular A^3 onde
A = -1 & 3 [6pt] 2 & 4
Usaremos o método de diagonalização: encontraremos os autovalores e autovetores, montaremos P tal que A=PDP^-1 e então elevaremos D ao cubo.]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
det(A-lambdaI) =( -1-lambda)(4-lambda)-3cdot2 =lambda^2-3lambda-10
As raízes são
lambda^2-3lambda-10=0 Longrightarrow lambda1=5, ;lambda2=-2

Passo 3

Agora achamos um autovetor para cada autovalor.
Para lambda1=5, resolvemos (A-5I)v=0:
-6 & 3[3pt]2 & -1 x[3pt]y =0 ;Longrightarrow; y=2x,
podemos escolher v1=(1,2)^T.
Para lambda2=-2, resolvemos (A+2I)v=0:
1 & 3[3pt]2 & 6 x[3pt]y =0 ;Longrightarrow; x=-3y,
podemos escolher v2=(-3,1)^T.]

Passo 4

Montamos P com colunas v1,v2 e calculamos P^-1.
P=1 & -3[3pt]2 & 1, detP=1cdot1-(-3)cdot2=7, P^-1=171 & 3[3pt]-2 & 1
A matriz diagonal correspondente é
D = P^-1AP =5 & 0[3pt]0 & -2 ]

Passo 5

Elevamos D ao cubo e usamos A^3=P,D^3,P^-1.
D^3 = 5^3 & 0[3pt]0 & (-2)^3 =125 & 0[3pt]0 & -8,
A^3 =P,D^3,P^-1 =1 & -3[3pt]2 & 1 125 & 0[3pt]0 & -8 171 & 3[3pt]-2 & 1 =11 & 57[3pt]38 & 106 ]

Resposta

A^3 = 11 & 57[3pt]38 & 106 ]