Quais procedimentos você conhece para adequar integrais a fórmulas básicas?
Passo 1
O enunciado pergunta quais procedimentos podemos usar para transformar integrais mais complicadas em formas que coincidam com fórmulas básicas conhecidas (por exemplo
,
,
etc.). O conteúdo principal é técnica de cálculo integral indefinida e vamos precisar entender mudanças de variável, decomposição de funções e tabelas de integrais.
Passo 2
Aplicar substituição simples (
-substituição): escolhemos uma parte do integrando que, ao derivar, apareça multiplicando o resto. Por exemplo, em
tomamos
, pois
, e obtemos a forma básica
.
Passo 3
Usar integração por partes quando temos produto de duas funções que não se reduzem por substituição direta. A fórmula é
Por exemplo, em
escolhemos
e
, gerando integrais elementares.
Passo 4
Decompor em frações parciais para integrais de funções racionais
: fatoramos o denominador e escrevemos
transformando tudo em somas de
e
.
Passo 5
Empregar identidades trigonométricas ou substituições trigonométricas em radicais ou potências pares. Por exemplo,
ou transformar
e
em expressões de
para usar fórmulas do tipo
.
Passo 6
Completar o quadrado dentro de raízes ou denominadores quadráticos para chegar a integrais do tipo
e usar diretamente
.
Passo 7
Fazer mudança de variável mais geral (escalações ou deslocamentos) como
, o que ajusta constantes fora do integrando e reduz ao caso
padrão.
Passo 8
Recorrer a fórmulas de redução ou diferenciação sob o sinal de integral quando há parâmetros. Por exemplo, para
montamos uma relação recursiva entre
e
.
Resposta
Os principais procedimentos são:
- Substituição simples (
-substituição). - Integração por partes.
- Decomposição em frações parciais.
- Identidades e substituições trigonométricas.
- Completar o quadrado em denominadores ou radicais.
- Mudança de variável linear (escala/deslocamento).
- Fórmulas de redução e diferenciação sob o integral.
- Consulta e uso de tabela de integrais básicas.