Quais procedimentos você conhece para adequar integrais a fórmulas básicas?

Passo 1

O enunciado pergunta quais procedimentos podemos usar para transformar integrais mais complicadas em formas que coincidam com fórmulas básicas conhecidas (por exemplo \int x^n\,dx, \int e^x\,dx, \int\frac{1}{1+x^2}\,dx etc.). O conteúdo principal é técnica de cálculo integral indefinida e vamos precisar entender mudanças de variável, decomposição de funções e tabelas de integrais.

Passo 2

Aplicar substituição simples ( u-substituição): escolhemos uma parte do integrando que, ao derivar, apareça multiplicando o resto. Por exemplo, em
\int 2x\,(x^2+1)^5\,dx
tomamos u=x^2+1, pois du=2x\,dx, e obtemos a forma básica \int u^5\,du.

Passo 3

Usar integração por partes quando temos produto de duas funções que não se reduzem por substituição direta. A fórmula é
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.
Por exemplo, em \int x\,e^x\,dx escolhemos u=x e dv=e^x\,dx, gerando integrais elementares.

Passo 4

Decompor em frações parciais para integrais de funções racionais \int \frac{P(x)}{Q(x)}\,dx: fatoramos o denominador e escrevemos
\frac{P(x)}{Q(x)} = \sum \frac{A}{x-a} + \sum \frac{Bx + C}{(x^2+bx+c)},
transformando tudo em somas de \int\frac{1}{x-a}\,dx e \int\frac{dx}{x^2+1}.

Passo 5

Empregar identidades trigonométricas ou substituições trigonométricas em radicais ou potências pares. Por exemplo,
\sqrt{a^2 - x^2}\quad\Longrightarrow\quad x = a\sin\theta,
ou transformar \sin^2 x e \cos^2 x em expressões de \cos2x para usar fórmulas do tipo \int\cos x\,dx.

Passo 6

Completar o quadrado dentro de raízes ou denominadores quadráticos para chegar a integrais do tipo
\int\frac{dx}{(x-h)^2 + k^2}
e usar diretamente \int \frac{du}{u^2 +1} = \arctan(u).

Passo 7

Fazer mudança de variável mais geral (escalações ou deslocamentos) como x = a\,t + b, o que ajusta constantes fora do integrando e reduz ao caso \int f(t)\,dt padrão.

Passo 8

Recorrer a fórmulas de redução ou diferenciação sob o sinal de integral quando há parâmetros. Por exemplo, para
I_n = \int x^n e^x\,dx
montamos uma relação recursiva entre I_n e I_{n-1}.

Resposta

Os principais procedimentos são:
  1. Substituição simples ( u-substituição).
  2. Integração por partes.
  3. Decomposição em frações parciais.
  4. Identidades e substituições trigonométricas.
  5. Completar o quadrado em denominadores ou radicais.
  6. Mudança de variável linear (escala/deslocamento).
  7. Fórmulas de redução e diferenciação sob o integral.
  8. Consulta e uso de tabela de integrais básicas.