O que é a projeção ortogonal de um vetor
em um vetor
? Como se escreve
como a soma de um vetor paralelo a ve de um vetor ortogonal a v?
Passo 1
A projeção ortogonal de um vetor
sobre um vetor
é o vetor “sombra” de
na direção de
. Aqui o conteúdo é geometria vetorial em espaços euclidianos e vamos usar produto escalar e norma para construir essa projeção.
Passo 2
Para definir a projeção, lembramos que a componente escalar de
na direção de
é dada por\r
mas nós queremos o vetor nessa direção. Então multiplicamos essa quantidade pelo vetor unitário em
, que é
. Assim chega-se à fórmula da projeção vetorial:\r
Passo 3
Agora, para decompor
em parte paralela e parte ortogonal a
, chamamos de\r
Por construção
é paralelo a
e
é perpendicular a
.
Passo 4
Podemos verificar que
é ortogonal a
computando o produto escalar:\r