O que é a projeção ortogonal de um vetor \mathbf{u} em um vetor \mathbf{v} ? Como se escreve \mathbf{u} como a soma de um vetor paralelo a ve de um vetor ortogonal a v?

Passo 1

A projeção ortogonal de um vetor \mathbf{u} sobre um vetor \mathbf{v} é o vetor “sombra” de \mathbf{u} na direção de \mathbf{v}. Aqui o conteúdo é geometria vetorial em espaços euclidianos e vamos usar produto escalar e norma para construir essa projeção.

Passo 2

Para definir a projeção, lembramos que a componente escalar de \mathbf{u} na direção de \mathbf{v} é dada por\r
\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}\,,\r
mas nós queremos o vetor nessa direção. Então multiplicamos essa quantidade pelo vetor unitário em \mathbf{v}, que é \mathbf{v}/\|\mathbf{v}\|. Assim chega-se à fórmula da projeção vetorial:\r
\mathrm{proj}_{\mathbf v}\mathbf u = \frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}\;\frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|} = \frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|^{2}}\;\mathbf{v}\,.

Passo 3

Agora, para decompor \mathbf{u} em parte paralela e parte ortogonal a \mathbf{v}, chamamos de\r
\mathbf{u}_{\parallel} = \mathrm{proj}_{\mathbf v}\mathbf u \quad\text{e}\quad \mathbf{u}_{\perp} = \mathbf{u} - \mathrm{proj}_{\mathbf v}\mathbf u\,.\r
Por construção \mathbf{u}_{\parallel} é paralelo a \mathbf{v} e \mathbf{u}_{\perp} é perpendicular a \mathbf{v}.

Passo 4

Podemos verificar que \mathbf{u}_{\perp} é ortogonal a \mathbf{v} computando o produto escalar:\r
\mathbf{u}_{\perp}\cdot\mathbf{v} = \bigl(\mathbf{u} - \mathrm{proj}_{\mathbf v}\mathbf u\bigr)\cdot\mathbf{v} = \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} - \frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|^{2}}\;\mathbf{v}\cdot\mathbf{v} = \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} - \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = 0\,.

Resposta

\displaystyle \mathbf{u} = \underbrace{\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|^{2}}\;\mathbf{v}}_{\text{paralela a }\mathbf{v}} + \underbrace{\Bigl(\mathbf{u} - \frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|^{2}}\;\mathbf{v}\Bigr)}_{\text{ortogonal a }\mathbf{v}}\,.