Propensão marginal ao consumo. Nos Exercícios 57 e 58, (a) use a propensão marginal ao consumo, d Q / d x, para escrever Q como uma função de x, na qual x é a renda (em dólares) e Q é a renda consumida (em dólares). Suponha que sejam consumidos 100 \% da renda das famílias cuja renda anual é menor ou igual $ 25000. (b) Use o resultado da parte (a) e uma planilha para completar a tabela mostrando a renda consumida e a renda economizada, x-Q, para várias rendas. (c) Use uma ferramenta gráfica para representar graficamente a renda consumida e a economizada.
x 25000 50000 100000 150000
Q
x-Q
\frac{d Q}{d x}=\frac{0,95}{(x-24999)^{0,05}}, \quad x \geq 25000

Passo 1

O enunciado dá a propensão marginal ao consumo
\frac{dQ}{dx}=\frac{0{,}95}{(x-24999)^{0{,}05}},\quad x\ge25000,
onde x é a renda e Q(x) é o consumo. Pede-se: (a) achar Q(x) integrando a propensão marginal e usando a condição de contorno de que, em x=25000, consome-se 100 % da renda; (b) montar uma tabela de \,Q e de poupança x-Q para alguns valores de x; (c) esboçar os gráficos de Q(x) e x-Q(x).

Passo 2

Integramos
\frac{dQ}{dx}=(x-24999)^{-0{,}05}\cdot0{,}95
para obter
Q(x) =\int0{,}95\,(x-24999)^{-0{,}05}\,dx =0{,}95\cdot\frac{(x-24999)^{1-0{,}05}}{1-0{,}05}+C =(x-24999)^{0{,}95}+C.

Passo 3

Usamos a condição Q(25000)=25000. Substituindo x=25000 na expressão acima:
25000=(25000-24999)^{0{,}95}+C \quad\Longrightarrow\quad1+C=25000 \quad\Longrightarrow\quad C=24999.

Passo 4

Portanto a função consumo é, para x\ge25000,
\boxed{Q(x)=24999+(x-24999)^{0{,}95}}.

Passo 5

Calculamos agora Q(x) e a poupança x-Q(x) nas rendas solicitadas. Usando uma planilha (ou calculadora):
\begin{array}{c|c|c} x & Q(x)=24999+(x-24999)^{0,95} & x-Q(x)\\hline 25000 & 25000,0 & 0,0\\[6pt] 50000 & 40073,\!0 & 50000-40073,\!0\approx9927,\!0\\[6pt] 100000 & 67770,\!0 & 100000-67770,\!0\approx32230,\!0\\[6pt] 150000 & 94447,\!0 & 150000-94447,\!0\approx55553,\!0 \end{array}]

Passo 6

Para o gráfico, basta traçar:
Q(x)=24999+(x-24999)^{0,95}, uma curva crescente e côncava para baixo;
x-Q(x), que começa em zero em x=25000 e cresce (côncava para cima).

Resposta

(a) \displaystyle Q(x)=24999+(x-24999)^{0,95}.
(b)
\begin{array}{c|c|c} x & Q(x) & x-Q(x)\\hline 25000 & 25000,0 & 0,0\\\\ 50000 & 40073,0 & 9927,0\\\\ 100000 & 67770,0 & 32230,0\\\\ 150000 & 94447,0 & 55553,0 \end{array}
(c) Gráficos de Q(x) e de x-Q(x) conforme descrito no passo 6.