O próprio Newton não conhecia o valor da constante de gravitação G. Esta foi determinada por meio de uma experiência clássica, em 1789, pelo cientista inglês Henry Cavendish. Uma vez conhecido G, explique como a equação (21), escrita na forma
T^2=(4 pi^2G M) a^3
pode ser usada para calcular a massa do Sol.

Passo 1

O enunciado nos dá a terceira lei de Kepler na forma
T^2=(4pi^2G,M)a^3
onde T é o período de órbita de um planeta em torno do Sol, a é o semi-eixo maior dessa órbita, G é a constante de gravitação universal (medida por Cavendish) e M é a massa do Sol. Nosso objetivo é usar essa relação para obter M.

Passo 2

Para encontrar a massa do Sol, basta isolar M na equação. Partindo de
T^2=4pi^2G,M,a^3,
vemos que
M=4pi^2,a^3G,T^2
Aqui usamos apenas transformações algébricas elementares.

Passo 3

Agora precisamos dos valores experimentais de a, T e G:
  • a (distância média Terra–Sol) é 1,UA=1,496times10^11,m.
  • T (período da Terra) é 1 ano =3,156times10^7,s.
  • G (constante de gravitação) vale aproximadamente 6,674times10^-11,m^3kg^-1s^-2.
Substituindo em
M=4pi^2(1,496times10^11,m)^3(6,674times10^-11,m^3kg^-1s^-2),(3,156times10^7,s)^2

Passo 4

Fazendo as contas (usando calculadora ou software):
Mapprox1,99times10^30,kg

Resposta

A massa do Sol calculada é aproximadamente
Mapprox2,0times10^30,kg