Provar que
. Isto prova que
é uma função par quando
é par e uma função impar quando
é impar.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
onde
é o polinômio de Chebyshev de primeira espécie. Vamos usar a definição trigonométrica
e uma propriedade de
para inverter o sinal de
.
Passo 2
Defina
Então
, pois
. Logo
Passo 3
Usando a definição de
, calcule
Passo 4
Aplique a identidade de cosseno sobre diferença:
Como
e
, obtemos
Passo 5
Da igualdade
segue imediatamente que, se
é par então
e
(função par), e se
é ímpar então
e
(função ímpar).
Resposta
logo
é par se
é par e ímpar se
é ímpar.