Provar que Tn(-x)=(-1)^n Tn(x). Isto prova que Tn é uma função par quando n é par e uma função impar quando n é impar.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
Tn(-x)=(-1)^nTn(x)
onde Tn é o polinômio de Chebyshev de primeira espécie. Vamos usar a definição trigonométrica
Tn(x)=cosl(narccos xr)
e uma propriedade de arccos para inverter o sinal de x.

Passo 2

Defina
x=costheta,theta=arccos x, -1<= x<=1
Então -x=cos(pi-theta), pois cos(pi-theta)=-costheta=-x. Logo
arccos(-x)=pi-theta

Passo 3

Usando a definição de Tn, calcule
Tn(-x) =cosl(narccos(-x)r) =cosl(n(pi-theta)r)

Passo 4

Aplique a identidade de cosseno sobre diferença:
cosl(n(pi-theta)r) =cos(npi - ntheta) =cos(npi)cos(ntheta)+sin(npi)sin(ntheta)
Como sin(npi)=0 e cos(npi)=(-1)^n, obtemos
Tn(-x) =(-1)^ncos(ntheta) =(-1)^nTn(x)

Passo 5

Da igualdade ;Tn(-x)=(-1)^nTn(x); segue imediatamente que, se n é par então (-1)^n=1 e Tn(-x)=Tn(x) (função par), e se n é ímpar então (-1)^n=-1 e Tn(-x)=-Tn(x) (função ímpar).

Resposta

Tn(-x)=(-1)^nTn(x),
logo Tn é par se n é par e ímpar se n é ímpar.