Prove que a função
é contínua em (x=0]. Esboce um gráfico da função.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= xsenl(tfrac1xr),&xneq0, 0,&x=0,
e pede para mostrar que f é contínua em x=0 e esboçar seu gráfico.
Conteúdo: continuidade via limite. Vamos usar o Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem).

Passo 2

Para xneq0 temos
-1<=senl(tfrac1xr)<=1 Longrightarrow -|x|<= x,senl(tfrac1xr)<=|x|
Então, ao tomar xto0, tanto -|x| quanto |x| tendem a 0. Pelo Teorema do Confronto,
limxto0x,senl(tfrac1xr)=0

Passo 3

Como limxto0f(x)=0 e f(0)=0, segue que
limxto0f(x)=f(0),
portanto f é contínua em x=0.

Passo 4

Esboço do gráfico: para xneq0, f(x)=xsen(1/x) oscila entre as retas de equações y=+x e y=-x, com amplitude decrescente ao se aproximar de 0. Em x=0 está o ponto (0,0).

Resposta

A função é contínua em x=0 porque limxto0xsen(1/x)=0=f(0).
O gráfico mostra oscilações cada vez menores entre as retas y=x e y=-x, convergindo para o ponto (0,0).