e pede para mostrar que f é contínua em x=0 e esboçar seu gráfico.
Conteúdo: continuidade via limite. Vamos usar o Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem).
Então, ao tomar xto0, tanto -|x| quanto |x| tendem a 0. Pelo Teorema do Confronto,
limxto0x,senl(tfrac1xr)=0
Passo 3
Como limxto0f(x)=0 e f(0)=0, segue que
limxto0f(x)=f(0),
portanto f é contínua em x=0.
Passo 4
Esboço do gráfico: para xneq0, f(x)=xsen(1/x) oscila entre as retas de equações y=+x e y=-x, com amplitude decrescente ao se aproximar de 0. Em x=0 está o ponto (0,0).
Resposta
A função é contínua em x=0 porque limxto0xsen(1/x)=0=f(0).
O gráfico mostra oscilações cada vez menores entre as retas y=x e y=-x, convergindo para o ponto (0,0).
Cálculo - Walter Rudin - Princípios de Análise Matemática - 2ª Edição - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 1