Prove que √[3]2 e √[3]3 são irracionais.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que raiz[3]2 e raiz[3]3 são números irracionais.
Conteúdo usado: prova por contradição aliada à unicidade da fatoração em primos (ou argumento de máximo divisor comum).

Passo 2

Prova de que raiz[3]2 é irracional. Suponha, por contradição, que
raiz[3]2 = ab
com a,b inteiros sem fator comum maior que 1 (forma irredutível) e b>0. Elevando ao cubo,
2 = a^3b^3 Longrightarrow a^3 = 2,b^3
Daí 2 divide a^3 e, portanto, 2 divide a. Escreva a=2k. Substituindo,
(2k)^3 = 2,b^3 Longrightarrow 8,k^3 = 2,b^3 Longrightarrow b^3 = 4,k^3
Logo 2 divide b^3 e então 2 divide b. Isso contradiz o fato de gcd(a,b)=1. Concluímos que raiz[3]2 não pode ser racional, ou seja, é irracional.

Passo 3

Prova de que raiz[3]3 é irracional segue o mesmo esquema. Suponha
raiz[3]3 = cd
com gcd(c,d)=1 e d>0. Elevando ao cubo,
3 = c^3d^3 Longrightarrow c^3 = 3,d^3
Isso implica que 3 divide c. Escrevendo c=3m, obtemos
(3m)^3 = 3,d^3 Longrightarrow 27,m^3 = 3,d^3 Longrightarrow d^3 = 9,m^3,
logo 3 divide d, contradizendo gcd(c,d)=1. Portanto raiz[3]3 é irracional.

Resposta

Ambos raiz[3]2 e raiz[3]3 são irracionais.