Prove que
e
são irracionais.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que
e
são números irracionais.
Conteúdo usado: prova por contradição aliada à unicidade da fatoração em primos (ou argumento de máximo divisor comum).
Conteúdo usado: prova por contradição aliada à unicidade da fatoração em primos (ou argumento de máximo divisor comum).
Passo 2
Prova de que
é irracional. Suponha, por contradição, que
com
inteiros sem fator comum maior que
(forma irredutível) e
. Elevando ao cubo,
Daí
divide
e, portanto,
divide
. Escreva
. Substituindo,
Logo
divide
e então
divide
. Isso contradiz o fato de
. Concluímos que
não pode ser racional, ou seja, é irracional.
Passo 3
Prova de que
é irracional segue o mesmo esquema. Suponha
com
e
. Elevando ao cubo,
Isso implica que
divide
. Escrevendo
, obtemos
logo
divide
, contradizendo
. Portanto
é irracional.
Resposta
Ambos
e
são irracionais.