Prove as seguintes igualdades:
lim x 0 b^x-1x=log b (b>0).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para b>0, vale
limxto0b^x-1x=log b
O conteúdo que vamos usar inclui a definição da exponencial geral via a função e^t e o limite clássico
limtto0e^t-1t=1

Passo 2

Expressamos b^x em termos de e. Por definição,
b^x=e^xln b
Logo o quociente fica
b^x-1x = e^xln b-1x

Passo 3

Fazemos a mudança de variável
t = xln b
Quando xto0, como ln b é constante, também tto0. Além disso, x = t/(ln b). Substituindo no limite, obtemos
e^xln b-1x = e^t-1,t/(ln b), = e^t-1t,ln b

Passo 4

Usamos o limite clássico
limtto0e^t-1t=1
Portanto
limxto0b^x-1x = limtto0e^t-1t,ln b = 1cdotln b =ln b

Resposta

log b.