Prove as seguintes relações de ortogonalidade, para m, n \in \mathrm{~N}\) : \(\(\int_{-L}^{L} \operatorname{sen}\left(\frac{m \pi x}{L}\right) \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{L}\right) d x= \begin{cases}0, & m \neq n, \\\ L, & m=n .\end{cases})

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, para m,n\in\mathbb{N}, vale
\int_{-L}^{L}\sin\!\bigl(\tfrac{m\pi x}{L}\bigr)\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\,dx =\begin{cases}0,&m\neq n,\L,&m=n.\end{cases}
O conteúdo é ortogonalidade de funções senoidais num intervalo simétrico. Vamos usar a identidade produto-para-soma e propriedades de integração de cossenos em intervalos simétricos.

Passo 2

Usamos a identidade
\sin A\sin B =\tfrac12\bigl[\cos(A-B)-\cos(A+B)\bigr].
Aqui
A=\tfrac{m\pi x}{L},\quad B=\tfrac{n\pi x}{L},
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\sin\!\bigl(\tfrac{m\pi x}{L}\bigr)\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr) =\tfrac12\Bigl[\cos\!\bigl(\tfrac{(m-n)\pi x}{L}\bigr) -\cos\!\bigl(\tfrac{(m+n)\pi x}{L}\bigr)\Bigr].
Substituindo na integral,
\int_{-L}^{L}\sin\!\bigl(\tfrac{m\pi x}{L}\bigr)\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\,dx =\tfrac12\int_{-L}^{L}\cos\!\bigl(\tfrac{(m-n)\pi x}{L}\bigr)\,dx -\tfrac12\int_{-L}^{L}\cos\!\bigl(\tfrac{(m+n)\pi x}{L}\bigr)\,dx.

Passo 3

Avaliamo separadamente as duas integrais de cosseno. Para k\neq 0,
\int_{-L}^{L}\cos\!\bigl(\tfrac{k\pi x}{L}\bigr)\,dx =\left[\tfrac{L}{k\pi}\sin\!\bigl(\tfrac{k\pi x}{L}\bigr)\right]_{-L}^{L} =\tfrac{L}{k\pi}\bigl(\sin(k\pi)-\sin(-k\pi)\bigr)=0
pois \sin(k\pi)=0.

Passo 4

Caso m\neq n, tanto k=m-n quanto k=m+n são não nulos, então ambas as integrais valem zero e
\int_{-L}^{L}\sin\!\bigl(\tfrac{m\pi x}{L}\bigr)\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\,dx =0.

Passo 5

Caso m=n, temos
\sin^2\!\bigl(\tfrac{m\pi x}{L}\bigr) =\tfrac12\bigl[1-\cos\!\bigl(\tfrac{2m\pi x}{L}\bigr)\bigr].
Então
\int_{-L}^{L}\sin^2\!\bigl(\tfrac{m\pi x}{L}\bigr)\,dx =\tfrac12\int_{-L}^{L}1\,dx -\tfrac12\int_{-L}^{L}\cos\!\bigl(\tfrac{2m\pi x}{L}\bigr)\,dx =\tfrac12\cdot(2L)-\tfrac12\cdot 0 = L.

Resposta

\int_{-L}^{L}\sin\!\bigl(\tfrac{m\pi x}{L}\bigr)\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\,dx =\begin{cases}0,&m\neq n,\L,&m=n.\end{cases}