42.3 Prove a sentença
por indução matemática.
Passo 1
O enunciado pede para provar por indução matemática que, para todo inteiro
, vale a fórmula da soma dos
primeiros termos da progressão geométrica de razão 2:
O método de indução requer dois passos principais: verificar o caso base e depois mostrar o passo indutivo.
Passo 2
(Caso base) Vamos checar
. Para
a soma tem apenas um termo:
Logo
é verdadeira.
Passo 3
(Hipótese de indução) Suponha que para algum
a fórmula seja verdadeira, isto é, suponha
Passo 4
(Passo indutivo) Precisamos provar que a fórmula vale também para
. Considere a soma até o expoente
:
Pela hipótese de indução o trecho até
vale
. Assim,
Isso mostra que
é verdadeira.
Passo 5
Como o caso base
é verdadeiro e sempre que
vale segue
também, concluímos por indução matemática que
para todo inteiro
.
Resposta
A identidade está provada para todo
.