42.3 Prove a sentença Pn: 1+2+2^2+cdots+2^n-1=2^n-1 por indução matemática.

Passo 1

O enunciado pede para provar por indução matemática que, para todo inteiro n>=1, vale a fórmula da soma dos n primeiros termos da progressão geométrica de razão 2:
1 + 2 + 2^2 + cdots + 2^n-1 ;=; 2^n - 1
O método de indução requer dois passos principais: verificar o caso base e depois mostrar o passo indutivo.

Passo 2

(Caso base) Vamos checar P1. Para n=1 a soma tem apenas um termo:
1 = 2^1 - 1 = 2 - 1 = 1
Logo P1 é verdadeira.

Passo 3

(Hipótese de indução) Suponha que para algum k>=1 a fórmula seja verdadeira, isto é, suponha
1 + 2 + 2^2 + cdots + 2^k-1 = 2^k - 1

Passo 4

(Passo indutivo) Precisamos provar que a fórmula vale também para n=k+1. Considere a soma até o expoente k:
1 + 2 + 2^2 + cdots + 2^k-1 + 2^k
Pela hipótese de indução o trecho até 2^k-1 vale 2^k - 1. Assim,
1 + 2 + cdots + 2^k-1 + 2^k = (2^k - 1) + 2^k = 2cdot 2^k - 1 = 2^k+1 - 1
Isso mostra que Pk+1 é verdadeira.

Passo 5

Como o caso base P1 é verdadeiro e sempre que Pk vale segue Pk+1 também, concluímos por indução matemática que
1 + 2 + 2^2 + cdots + 2^n-1 = 2^n - 1
para todo inteiro n>=1.

Resposta

A identidade está provada para todo n>=1.