14.1 Prove o teorema do resto.
Pelo algoritmo da divisão, há polinômios
e
, tais que
. Como o grau de
é menor que o grau de
, ou seja, menor que 1 , o grau de
deve ser zero. Logo,
é uma constante denotada por
. Assim, para todo
,
Em particular, faça
. Então,
, ou seja,
. Assim,
Em outras palavras, o resto quando
é dividido por
é
.
Passo 1
O enunciado pede para provar o Teorema do Resto, que afirma: dado um polinômio
e um escalar
, ao dividir
por
o resto é exatamente
. O conteúdo que vamos usar é o Algoritmo da Divisão de polinômios, que garante a existência de um quociente e um resto com grau menor que o do divisor.
Passo 2
Pelo Algoritmo da Divisão, existem polinômios
e
tais que
onde
. Como
, segue que
é um polinômio de grau zero, isto é, uma constante que chamaremos de
. Então podemos escrever
Passo 3
Para encontrar a constante
, basta avaliar essa identidade em
. Substituindo
temos
Portanto,
.
Passo 4
Voltando à expressão geral, concluímos
Isto mostra que ao dividir
por
o resto é
.
Resposta
O resto da divisão de
por
é
.