14.1 Prove o teorema do resto.
Pelo algoritmo da divisão, há polinômios q(x) e r(x), tais que f(x)=q(x)(x-c)+r(x). Como o grau de r(x) é menor que o grau de x-c, ou seja, menor que 1 , o grau de r(x) deve ser zero. Logo, r(x) é uma constante denotada por r. Assim, para todo x,
f(x)=q(x)(x-c)+r
Em particular, faça x=c. Então, f(c)=q(c)(c-c)+r, ou seja, f(c)=r. Assim,
f(x)=q(x)(x-c)+f(c)
Em outras palavras, o resto quando f(x) é dividido por c é f(c).

Passo 1

O enunciado pede para provar o Teorema do Resto, que afirma: dado um polinômio f(x) e um escalar c, ao dividir f(x) por x - c o resto é exatamente f(c). O conteúdo que vamos usar é o Algoritmo da Divisão de polinômios, que garante a existência de um quociente e um resto com grau menor que o do divisor.

Passo 2

Pelo Algoritmo da Divisão, existem polinômios q(x) e r(x) tais que
f(x) = q(x),(x - c) + r(x),
onde deg r(x) < deg(x - c) = 1. Como deg r(x)<1, segue que r(x) é um polinômio de grau zero, isto é, uma constante que chamaremos de r. Então podemos escrever
f(x) = q(x),(x - c) + r

Passo 3

Para encontrar a constante r, basta avaliar essa identidade em x = c. Substituindo x=c temos
f(c) = q(c),(c - c) + r = q(c)cdot 0 + r = r
Portanto, r = f(c).

Passo 4

Voltando à expressão geral, concluímos
f(x) = q(x),(x - c) + f(c)
Isto mostra que ao dividir f(x) por x-c o resto é f(c).

Resposta

O resto da divisão de f(x) por x - c é f(c).