Prove que tôda sucessão uniformemente convergente de funçōes !limitadas é uniformemente limitads.
Passo 1
O enunciado pede que mostremos que se
é uma sequência de funções
tais que
- cada
é limitada (isto é, existe com para todo ), -
converge uniformemente a uma função em ,
então existe um únicotal que
Vamos usar a definição de convergência uniforme e a desigualdade triangular para agrupar todos os limites em um só.
Passo 2
Pela convergência uniforme de
a
, existe
tal que
Como cada
é limitada, em particular os primeiros
termos são limitados. Defina
Então
e
para todo
e todo
.
Passo 3
Mostramos que o limite
também é limitado. Para qualquer
, usando
na estimativa acima, temos
Portanto, definindo
obtemos
para todo
, isto é,
é limitada.
Passo 4
Para
e qualquer
, aplicamos novamente a desigualdade triangular:
Logo,
com
para todo
e todo
.
Agora basta escolher
Então
e para qualquer
e todo
temos
. Isso mostra que a sequência é uniformemente limitada.
Resposta
A sequência
é uniformemente limitada: existe
tal que
para todo
e todo
.