Prove que tôda sucessão uniformemente convergente de funçōes !limitadas é uniformemente limitads.

Passo 1

O enunciado pede que mostremos que se (fn) é uma sequência de funções fncolon EtoR tais que
  1. cada fn é limitada (isto é, existe Mn com lvert fn(x)rvert<= Mn para todo xin E),
  2. fn converge uniformemente a uma função f em E,
    então existe um único M tal que
lvert fn(x)rvert <= M para todo ninN e todo xin E
Vamos usar a definição de convergência uniforme e a desigualdade triangular para agrupar todos os limites em um só.

Passo 2

Pela convergência uniforme de fn a f, existe NinN tal que
lvert fn(x)-f(x)rvert < 1 para todo n>= N e todo xin E
Como cada fn é limitada, em particular os primeiros N-1 termos são limitados. Defina
M1 = max1<= n< N,supxin Elvert fn(x)rvert
Então M1<infty e lvert fn(x)rvert<= M1 para todo n< N e todo x.

Passo 3

Mostramos que o limite f também é limitado. Para qualquer xin E, usando n=N na estimativa acima, temos
lvert f(x)rvert <= lvert f(x)-fN(x)rvert + lvert fN(x)rvert < 1 + supxin Elvert fN(x)rvert
Portanto, definindo
M2 = 1 + supxin Elvert fN(x)rvert,
obtemos lvert f(x)rvert <= M2 para todo xin E, isto é, f é limitada.

Passo 4

Para n>= N e qualquer xin E, aplicamos novamente a desigualdade triangular:
lvert fn(x)rvert <= lvert fn(x)-f(x)rvert + lvert f(x)rvert < 1 + M2
Logo, lvert fn(x)rvert <= M3 com
M3 = 1 + M2 < infty,
para todo n>= N e todo xin E.
Agora basta escolher
M = maxM1,,M3
Então M<infty e para qualquer ninN e todo xin E temos lvert fn(x)rvert <= M. Isso mostra que a sequência é uniformemente limitada.

Resposta

A sequência (fn) é uniformemente limitada: existe
M = maxlM1,;1 + (1 + supxin Elvert fN(x)rvert)r
tal que lvert fn(x)rvert <= M para todo n e todo x.