8 \quad Quantos dígitos tem 5^{999} \cdot 17^{2222} ?

Passo 1

O enunciado pede quantos dígitos tem o número
N = 5^{999}\cdot17^{2222}.
Aqui o conteúdo é o cálculo do número de dígitos de um inteiro grande usando logaritmo na base 10.

Passo 2

Para qualquer inteiro positivo N, o número de dígitos é dado por
\lfloor \log_{10}N\rfloor + 1.
Logo, vamos calcular \log_{10}N.

Passo 3

Escrevendo
\log_{10}N \;=\;\log_{10}\bigl(5^{999}\bigr)+\log_{10}\bigl(17^{2222}\bigr) \;=\;999\,\log_{10}5 \;+\;2222\,\log_{10}17,
sabendo que
\log_{10}5 = 1 - \log_{10}2 \approx 0{,}69897000434
e
\log_{10}17 \approx 1{,}23044892138.

Passo 4

Calculando separadamente:
999\,\log_{10}5 \approx 999\times0{,}69897000434 = 698{,}2710343,
2222\,\log_{10}17 \approx 2222\times1{,}23044892138 = 2734{,}0575033.
Somando,
\log_{10}N \approx 698{,}2710343 + 2734{,}0575033 = 3432{,}3285376.

Passo 5

O número de dígitos de N é
\lfloor 3432{,}3285376\rfloor + 1 = 3432 + 1 = 3433.

Resposta

3433

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