Quantas cadeias de bits de comprimento seis ou menos são possíveis?

Passo 1

O enunciado pede o número de todas as cadeias de bits (sequências de 0 e 1) cujo comprimento seja até seis. Isso envolve contagem combinatória e soma de uma progressão geométrica, pois para cada comprimento k há um certo número de cadeias.

Passo 2

Para um comprimento fixo k, cada posição da cadeia pode ser 0 ou 1, então o número de cadeias de comprimento k é 2^k.

Passo 3

Como queremos todas as cadeias de comprimento de 0 até 6, somamos os valores para k=0,1,2,3,4,5,6:
\sum_{k=0}^{6}2^k.

Passo 4

Usamos a fórmula da soma de uma progressão geométrica:
\sum_{k=0}^{n}r^k = \frac{r^{\,n+1}-1}{r-1}.
Aqui r=2 e n=6, logo
\sum_{k=0}^{6}2^k = \frac{2^{7}-1}{2-1} = 2^{7}-1 = 128-1 = 127.

Resposta

127

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