Quantas cadeias de bits de extensão 12 contêm
a) exatamente três 1 s ?
b) no máximo três 1 s?
c) pelo menos três 1 s?
d) um número igual de 0 s e 1 s ?

Passo 1

O enunciado pede para contar cadeias de bits (strings de 0 e 1) de comprimento 12 sujeitas a várias restrições: exatamente três 1s, no máximo três 1s, pelo menos três 1s e mesmo número de 0s e 1s.
O que vamos usar é a ideia de coeficiente binomial: para escolher exatamente k posições de 1 dentre 12, existem
\binom{12}{k} \;=\;\frac{12!}{k!\,(12-k)!}
maneiras.

Passo 2

Para ter exatamente três 1s basta escolher três posições dentre doze para colocar o 1. Logo, o número de cadeias é
\binom{12}{3} = \frac{12!}{3!\,9!} = 220.

Passo 3

“No máximo três 1s” significa contar as cadeias com 0, 1, 2 ou 3 uns. Somamos os coeficientes binomiais correspondentes:
\sum_{k=0}^{3}\binom{12}{k} =\binom{12}{0}+\binom{12}{1}+\binom{12}{2}+\binom{12}{3} =1 + 12 + 66 + 220 =299.

Passo 4

“Pelo menos três 1s” abrange k=3,4,\dots,12. Podemos usar que o total de cadeias é 2^{12}=4096 e subtrair as que têm menos de três 1s (casos k=0,1,2):
\sum_{k=3}^{12}\binom{12}{k} =2^{12}-\bigl(\binom{12}{0}+\binom{12}{1}+\binom{12}{2}\bigr) =4096 - (1 + 12 + 66) =4096 - 79 =4017.

Passo 5

“Mesmo número de 0s e 1s” em comprimento 12 significa 6 zeros e 6 uns. O número de formas de escolher as seis posições dos uns é
\binom{12}{6} =\frac{12!}{6!\,6!} =924.

Resposta

(a) \binom{12}{3} = 220
(b) \displaystyle \sum_{k=0}^{3}\binom{12}{k} = 299
(c) \displaystyle \sum_{k=3}^{12}\binom{12}{k} = 4017
(d) \binom{12}{6} = 924