De quantas formas podemos distribuir 10 bolinhas, numeradas de 1 a 10, em 2 urnas, A e B (podendo eventualmente uma ficar vazia)?
Passo 1
O enunciado pede o número de maneiras de distribuir 10 bolinhas distintas (numeradas de 1 a 10) em duas urnas A e B, permitindo que uma urna fique vazia. O conteúdo envolvido é o princípio multiplicativo de contagem (cada objeto faz escolhas independentes) e, alternativamente, a identidade binomial.
Passo 2
Cada bolinha pode ir para A ou para B, ou seja, tem 2 escolhas independentes. Pelo princípio multiplicativo, o total de distribuições é
Em outra abordagem, podemos contar quantas distribuições deixam exatamente
bolinhas em A (e
em B): para isso escolhemos
bolinhas dentre as 10, o que pode ser feito de
formas. Somando todos os casos de
até
,
pela identidade da soma dos coeficientes binomiais.
Passo 3
Basta agora calcular