De quantas formas podemos distribuir 10 bolinhas, numeradas de 1 a 10, em 2 urnas, A e B (podendo eventualmente uma ficar vazia)?

Passo 1

O enunciado pede o número de maneiras de distribuir 10 bolinhas distintas (numeradas de 1 a 10) em duas urnas A e B, permitindo que uma urna fique vazia. O conteúdo envolvido é o princípio multiplicativo de contagem (cada objeto faz escolhas independentes) e, alternativamente, a identidade binomial.

Passo 2

Cada bolinha pode ir para A ou para B, ou seja, tem 2 escolhas independentes. Pelo princípio multiplicativo, o total de distribuições é
prodi=1^10 2 ;=;2^10
Em outra abordagem, podemos contar quantas distribuições deixam exatamente k bolinhas em A (e 10-k em B): para isso escolhemos k bolinhas dentre as 10, o que pode ser feito de binom10k formas. Somando todos os casos de k=0 até 10,
sumk=0^10 binom10k ;=; 2^10,
pela identidade da soma dos coeficientes binomiais.

Passo 3

Basta agora calcular
2^10 = 1024

Resposta

1024