Quantas permutações de 10 dígitos ou começam com os 3 dígitos 987 , ou contêm os dígitos 45 na quinta e na sexta posições ou terminam com os 3 dígitos 123 ?
Passo 1
O enunciado pede o número de permutações dos dígitos de 0 a 9 (total de
) que satisfazem pelo menos uma das condições: iniciar com
, ter os dígitos
e
nas posições quinta e sexta, ou terminar com
. Vamos usar o princípio da inclusão-exclusão para conjuntos de permutações.
Passo 2
Definimos os conjuntos:
– : permutações que começam com
. Fixando 3 dígitos, restam 7 para permutar, logo
–
–
: permutações com
e
nas posições 5 e 6. Fixando 2 dígitos, restam 8 para permutar, logo
–
: permutações que terminam com
. Fixando 3 dígitos, restam 7 para permutar, logo
Passo 3
Cálculo das interseções duplas:
– : fixam-se 3 dígitos iniciais e 2 dígitos nas posições 5–6, sobrando 5 para permutar, então
–
–
: fixam-se 3 dígitos iniciais e 3 dígitos finais, sobrando 4 para permutar, então
–
: fixam-se 2 dígitos em 5–6 e 3 dígitos em 8–10, sobrando 5 para permutar, então
Passo 4
Cálculo da interseção tripla
:
Fixam-se 3 dígitos iniciais, 2 dígitos em 5–6 e 3 dígitos finais (total 8), sobrando 2 para permutar, então
Fixam-se 3 dígitos iniciais, 2 dígitos em 5–6 e 3 dígitos finais (total 8), sobrando 2 para permutar, então
Passo 5
Aplicando o princípio da inclusão-exclusão:
Substituindo os valores:
Resposta
50138