Quantas permutações de 10 dígitos ou começam com os 3 dígitos 987 , ou contêm os dígitos 45 na quinta e na sexta posições ou terminam com os 3 dígitos 123 ?

Passo 1

O enunciado pede o número de permutações dos dígitos de 0 a 9 (total de 10!) que satisfazem pelo menos uma das condições: iniciar com 987, ter os dígitos 4 e 5 nas posições quinta e sexta, ou terminar com 123. Vamos usar o princípio da inclusão-exclusão para conjuntos de permutações.

Passo 2

Definimos os conjuntos:
A: permutações que começam com 987. Fixando 3 dígitos, restam 7 para permutar, logo
|A| = 7!
B: permutações com 4 e 5 nas posições 5 e 6. Fixando 2 dígitos, restam 8 para permutar, logo
|B| = 8!
C: permutações que terminam com 123. Fixando 3 dígitos, restam 7 para permutar, logo
|C| = 7!

Passo 3

Cálculo das interseções duplas:
A\cap B: fixam-se 3 dígitos iniciais e 2 dígitos nas posições 5–6, sobrando 5 para permutar, então
|A\cap B| = 5!
A\cap C: fixam-se 3 dígitos iniciais e 3 dígitos finais, sobrando 4 para permutar, então
|A\cap C| = 4!
B\cap C: fixam-se 2 dígitos em 5–6 e 3 dígitos em 8–10, sobrando 5 para permutar, então
|B\cap C| = 5!

Passo 4

Cálculo da interseção tripla A\cap B\cap C:
Fixam-se 3 dígitos iniciais, 2 dígitos em 5–6 e 3 dígitos finais (total 8), sobrando 2 para permutar, então
|A\cap B\cap C| = 2!

Passo 5

Aplicando o princípio da inclusão-exclusão:
|A\cup B\cup C| = |A| + |B| + |C| - |A\cap B| - |A\cap C| - |B\cap C| + |A\cap B\cap C|.
Substituindo os valores:
7! + 8! + 7! - 5! - 4! - 5! + 2! = 5040 + 40320 + 5040 - 120 - 24 - 120 + 2 = 50138.

Resposta

50138

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