Quantas retas há no espaço? Demonstre.
Passo 1
O enunciado pergunta “Quantas retas existem no espaço
?”. Isso é um problema de cardinalidade de conjuntos, onde queremos comparar o tamanho do conjunto
de todas as retas em
com o tamanho do conjunto dos números reais, cujo cardinal é
. Para isso vamos usar o fato de que
, propriedades de produtos cartesianos e o Teorema de Cantor–Schroeder–Bernstein.
Passo 2
Mostramos primeiro que
.
Cada reta em é determinada por um par ordenado de pontos distintos
com
. Assim existe uma aplicação sobrejetiva
Cada reta em
que associa a cada par
a reta que passa por
e
. Como
e o domínio da aplicação é um subconjunto desse produto cartesiano, segue
.
Passo 3
Agora mostramos que
Definimos uma injeção
Definimos uma injeção
mandando cada
na reta
que passa por
com direção
. Para
as retas
e
são distintas, logo
é injetora e
Passo 4
Concluindo, temos
e
. Pelo Teorema de Cantor–Schroeder–Bernstein segue
Ou seja, o conjunto de todas as retas em
tem a mesma cardinalidade dos números reais.
Resposta
Existem
retas no espaço
, isto é, infinitamente muitas, da mesma cardinalidade do contínuo.