Quantas retas há no espaço? Demonstre.

Passo 1

O enunciado pergunta “Quantas retas existem no espaço R^3?”. Isso é um problema de cardinalidade de conjuntos, onde queremos comparar o tamanho do conjunto L de todas as retas em R^3 com o tamanho do conjunto dos números reais, cujo cardinal é c. Para isso vamos usar o fato de que #(R^3)=c, propriedades de produtos cartesianos e o Teorema de Cantor–Schroeder–Bernstein.

Passo 2

Mostramos primeiro que #L<=c.
Cada reta em R^3 é determinada por um par ordenado de pontos distintos (P,Q)inR^3timesR^3 com Pneq Q. Assim existe uma aplicação sobrejetiva
f:(P,Q)inR^3timesR^3mid Pneq Q;longrightarrow;L,
que associa a cada par (P,Q) a reta que passa por P e Q. Como
#(R^3timesR^3) =#(R^3),cdot,#(R^3) =c,cdot,c =c,
e o domínio da aplicação é um subconjunto desse produto cartesiano, segue #L<=c.

Passo 3

Agora mostramos que #L>=c
Definimos uma injeção
g:R;longrightarrow;L,
mandando cada tinR na reta rt que passa por (t,0,0) com direção (0,1,0). Para tneq t' as retas rt e rt' são distintas, logo g é injetora e
#R=c<=#L

Passo 4

Concluindo, temos #L<=c e #L>=c. Pelo Teorema de Cantor–Schroeder–Bernstein segue
#L=c
Ou seja, o conjunto de todas as retas em R^3 tem a mesma cardinalidade dos números reais.

Resposta

Existem c retas no espaço R^3, isto é, infinitamente muitas, da mesma cardinalidade do contínuo.