Em quanto aumentari, aproximadamente, o lado do quadrado, se sua área aumenta de 9 \mathrm{~m}^{2} a 9,1 \mathrm{~m}^{2} ?
Solução. Se x é a área do quadrado e y, seu lado, entåo:
y=\sqrt{x}
Pelas condiçöes dadas: x=9 ; \Delta x=0,1.
Calculamos, aproximadamente, o acréscimo \Delta y do lado do quadrado:
\Delta y \approx d y=y^{\prime} \Delta x=\frac{1}{2 \sqrt{9}} \cdot 0,1=0,016 \mathrm{~m}

Passo 1

O enunciado pergunta quanto aumenta, em metros, o lado de um quadrado cuja área passa de 9 m^{2} para 9,1 m^{2}. O conteúdo usado será a aproximação diferencial: se y é o lado e x a área, então y=\sqrt{x} e o incremento \Delta y pode ser aproximado por dy=y'(x)\,dx.

Passo 2

Escrevemos a relação entre área e lado: y=\sqrt{x}.
Como a área aumenta de 9 m^{2} para 9,1 m^{2}, temos \Delta x=0,1 m^{2} e vamos avaliar em x=9.

Passo 3

Calculamos a derivada de y em função de x:
y'=\frac{d}{dx}\bigl(\sqrt{x}\bigr) =\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Em x=9, isto é
y'(9)=\frac{1}{2\sqrt{9}}=\frac{1}{2\cdot3}=\frac{1}{6}.

Passo 4

Aproximamos o incremento do lado usando o diferencial:
\Delta y\approx y'(9)\,\Delta x =\frac{1}{6}\cdot0,1=0,016.

Resposta

0,016 m