7 Quantos dígitos tem 6{ }^{700} \cdot 23^{1000} ?

Passo 1

O enunciado pede a quantidade de dígitos de
N = 6^{700} \cdot 23^{1000}.
O conteúdo principal aqui é a relação entre o número de dígitos de um inteiro positivo N e o logaritmo de N:
\text{seja }d(N)\text{ o número de dígitos de }N,\text{ então }d(N)=\lfloor\log_{10}N\rfloor+1.úíã

Passo 2

Vamos aplicar a fórmula de mudança de base e a propriedade de logaritmo de produto e potência. Temos
\log_{10}N = \log_{10}\bigl(6^{700}\cdot23^{1000}\bigr) = 700\log_{10}6 \;+\; 1000\log_{10}23.

Passo 3

Precisamos de valores aproximados de \log_{10}6 e \log_{10}23. Usamos:
\log_{10}6 = \log_{10}2 + \log_{10}3 \approx 0{,}3010299957 + 0{,}4771212547 = 0{,}7781512504,
\log_{10}23 \approx 1{,}3617278360.

Passo 4

Agora multiplicamos pelos expoentes:
700\log_{10}6 \approx 700 \times 0{,}7781512504 = 544{,}7058753,
1000\log_{10}23 \approx 1000 \times 1{,}3617278360 = 1361{,}7278360.

Passo 5

Somamos esses resultados para obter \log_{10}N:
\log_{10}N \approx 544{,}7058753 + 1361{,}7278360 = 1906{,}4337113.
Aplicamos d(N)=\lfloor\log_{10}N\rfloor+1:
\lfloor 1906{,}4337113\rfloor = 1906 \quad\Longrightarrow\quad d(N)=1906+1=1907.

Resposta

1907

Exercícios de Livros Relacionados