Relacione a função à regra mais eficaz para determinar sua derivada.
f(x)=\frac{2}{1-x^{3}}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\frac{2}{1 - x^{3}}
e pede para identificar a regra mais eficaz para calcular f'(x). O conteúdo aqui envolve reconhecer que podemos tratar o denominador como uma função elevada a um expoente e, portanto, usar a regra da cadeia junto com a regra do expoente e a do constante múltiplo.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos f(x) de forma a expor o expoente:
f(x) = 2\,(1 - x^{3})^{-1}.

Passo 3

Aplicamos a regra do constante múltiplo e a regra do expoente em cadeia. Seja
u(x) = 1 - x^{3},
então
f(x) = 2\,u(x)^{-1}.
Usando
\frac{d}{dx}\bigl[u^{-1}\bigr] = -1\,u^{-2}\,u',
temos
f'(x) = 2 \times \bigl(-1\bigr)\,u(x)^{-2}\,\frac{d}{dx}\bigl(1 - x^{3}\bigr).

Passo 4

Como
\frac{d}{dx}\bigl(1 - x^{3}\bigr) = -3x^{2},
segue que
f'(x) = 2 \times (-1)\,(1 - x^{3})^{-2} \times (-3x^{2}) = 6\,x^{2}\,(1 - x^{3})^{-2}.

Resposta

Regra da cadeia.