Represente por
o maior inteiro contido em
, isto é,
é o inteiro tal que
; e por
a parte fracionária de
. Quais são as descontinuidades das funções [x] e (x)?
Passo 1
O enunciado define a função “parte inteira”
e a “parte fracionária”
A pergunta é: em que pontos essas funções deixam de ser contínuas? Vamos usar o conceito de limite lateral e continuidade pontual para cada função.
Passo 2
Analisando
em
:
Se não é inteiro, existe um intervalo aberto em torno de
no qual
permanece igual ao mesmo inteiro
. Logo, para todo
suficientemente próximo de
vale
Se
e tanto o limite pela esquerda quanto pela direita valem
. Portanto
é contínua em todo
.
Passo 3
Agora em
:
- Limite pela esquerda: se
, então . - Limite pela direita: se
, então .
Como
não há continuidade em
. Concluímos que
é descontínua em cada inteiro
.
Passo 4
Para
:
- Se
, então tanto quanto são contínuas em , logo é contínua em . - Se
, então -
, -
,
mas. Há, portanto, salto na descontinuidade em .
-