Represente por [x] o maior inteiro contido em x, isto é, [x] é o inteiro tal que x-1<[x] <= x; e por (x)=x-[x] a parte fracionária de [x. Quais são as descontinuidades das funções [x] e (x)?

Passo 1

O enunciado define a função “parte inteira”
[x]=maxkinZmid k<= x
e a “parte fracionária”
(x)=x-[x]
A pergunta é: em que pontos essas funções deixam de ser contínuas? Vamos usar o conceito de limite lateral e continuidade pontual para cada função.

Passo 2

Analisando [x] em x0notinZ:
Se x0 não é inteiro, existe um intervalo aberto em torno de x0 no qual [x] permanece igual ao mesmo inteiro n=[x0]. Logo, para todo x suficientemente próximo de x0 vale
[x]=[x0],
e tanto o limite pela esquerda quanto pela direita valem [x0]. Portanto [x] é contínua em todo x0notinZ.

Passo 3

Agora em x0=ninZ:
  • Limite pela esquerda: se xto n^-, então [x]=n-1.
  • Limite pela direita: se xto n^+, então [x]=n.
    Como
limxto n^-[x]=n-1neq n=limxto n^+[x],
não há continuidade em x=n. Concluímos que [x] é descontínua em cada inteiro n.

Passo 4

Para (x)=x-[x]:
  1. Se x0notinZ, então tanto xmapsto x quanto xmapsto[x] são contínuas em x0, logo (x) é contínua em x0.
  2. Se x0=ninZ, então
    • limxto n^-(x)=limxto n^-l(x-(n-1)r)=1,
    • limxto n^+(x)=limxto n^+l(x-nr)=0,
      mas (n)=n-[n]=0. Há, portanto, salto na descontinuidade em x=n.

Resposta

[x] e (x) são descontínuas exatamente nos pontos xinZ. Nos demais xnotinZ ambas são contínuas.