Resolva a equação diferencial de Bernoulli dada.
y^{\prime}+2 x y=x y^{2}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de Bernoulli
y' + 2x,y = x,y^2
e pede sua solução geral. O conteúdo envolvido é o método de resolução de equações de Bernoulli, que são da forma
y' + p(x),y = q(x),y^n
Aqui temos p(x)=2x, q(x)=x e n=2. Para resolver, usaremos a substituição
u = y^,1-n = y^-1

Passo 2

Começamos dividindo toda a equação por y^2 (supondo yneq0), de modo a ficar
y^-2y' + 2x,y^-1 = x
Como definimos u=y^-1, calculamos sua derivada em relação a x:
u' = ddx(y^-1) = -y^-2y'
Logo
y^-2y' = -,u'
Substituindo em nossa equação acima, obtemos
-,u' + 2x,u = x

Passo 3

Reorganizando, temos uma equação linear em u:
u' - 2x,u = -,x
Para essa equação, o fator integrante é
mu(x) = e^-integral 2x,dx = e^-x^2
Multiplicando toda a equação por mu(x) resulta
e^-x^2u' - 2x,e^-x^2u = -x,e^-x^2,
cujo lado esquerdo é exatamente
ddxl(u,e^-x^2r)

Passo 4

Integramos ambos os lados:
ddxl(u,e^-x^2r) = -x,e^-x^2 Longrightarrow u,e^-x^2 = integral -x,e^-x^2,dx
Fazendo a substituição t=-x^2, dt=-2x,dx, vem
integral -x,e^-x^2,dx = tfrac12integral e^t,dt = tfrac12,e^t + C = tfrac12,e^-x^2 + C
Portanto
u,e^-x^2 = tfrac12,e^-x^2 + C Longrightarrow u = tfrac12 + C,e^x^2

Passo 5

Voltando à variável original, u=y^-1, temos
y^-1 = tfrac12 + C,e^x^2 Longrightarrow y = 1tfrac12 + C,e^x^2
Para simplificar, definimos K=2C e obtemos a forma mais usual da solução geral:
y(x) = 2,1 + K,e^x^2,,
onde K é constante arbitrária.

Resposta

y(x) = 2,1 + K,e^x^2,, KinR