Resolva a equação diferencial de Bernoulli dada.
y^{\prime}+2 x y=x y^{2}
y^{\prime}+2 x y=x y^{2}
Passo 1
O enunciado nos dá a equação de Bernoulli
e pede sua solução geral. O conteúdo envolvido é o método de resolução de equações de Bernoulli, que são da forma
Aqui temos
,
e
. Para resolver, usaremos a substituição
Passo 2
Começamos dividindo toda a equação por
(supondo
), de modo a ficar
Como definimos
, calculamos sua derivada em relação a
:
Logo
Substituindo em nossa equação acima, obtemos
Passo 3
Reorganizando, temos uma equação linear em
:
Para essa equação, o fator integrante é
Multiplicando toda a equação por
resulta
cujo lado esquerdo é exatamente
Passo 4
Integramos ambos os lados:
Fazendo a substituição
,
, vem
Portanto
Passo 5
Voltando à variável original,
, temos
Para simplificar, definimos
e obtemos a forma mais usual da solução geral:
onde
é constante arbitrária.