Resolva as questões abaixo.
(a) Dê três exemplos de conjuntos limitados e três exemplos de conjuntos não-limitados.

Passo 1

O enunciado pede três exemplos de conjuntos limitados e três exemplos de conjuntos não-limitados. O conteúdo é a definição de conjunto limitado em R^n: precisamos usar o critério de existência de uma bola de raio finito que contenha todo o conjunto.

Passo 2

Por definição, um conjunto SsubsetR^n é limitado se existir M>0 tal que
|x|<= Mpara todo xin S
Caso contrário dizemos que S é não-limitado.

Passo 3

Três exemplos de conjuntos limitados (com breve justificativa):
(i) O intervalo
[-1,1]subsetR,
pois para todo xin[-1,1] temos |x|<=1, logo está contido na bola de raio 1 em R.
(ii) A bola fechada de raio 2 em R^3:
(x,y,z)inR^3mid x^2+y^2+z^2<=4,
pois todo ponto satisfaz raizx^2+y^2+z^2<=2.
(iii) Um conjunto finito, por exemplo
0,1,2,3subsetR,
já que seus elementos têm valor absoluto no máximo 3.

Passo 4

Três exemplos de conjuntos não-limitados (com justificativa):
(i) A reta inteira
R,
não é limitada porque não existe M tal que |x|<= M para todo xinR.
(ii) O semirreta
[0,infty)subsetR,
pois os pontos crescem sem limite em direção a +infty.
(iii) O plano
R^2,
que é não-limitado em qualquer direção em R^2.

Resposta

(a) Conjuntos limitados:
;[-1,1],
;(x,y,z)inR^3mid x^2+y^2+z^2<=4,
;0,1,2,3.
Conjuntos não-limitados:
;R,
;[0,infty),
;R^2.