Resolva as questões abaixo.
(a) Dê três exemplos de conjuntos limitados e três exemplos de conjuntos não-limitados.
(a) Dê três exemplos de conjuntos limitados e três exemplos de conjuntos não-limitados.
Passo 1
O enunciado pede três exemplos de conjuntos limitados e três exemplos de conjuntos não-limitados. O conteúdo é a definição de conjunto limitado em
: precisamos usar o critério de existência de uma bola de raio finito que contenha todo o conjunto.
Passo 2
Por definição, um conjunto
é limitado se existir
tal que
Caso contrário dizemos que
é não-limitado.
Passo 3
Três exemplos de conjuntos limitados (com breve justificativa):
(i) O intervalo
(i) O intervalo
pois para todo
temos
, logo está contido na bola de raio
em
.
(ii) A bola fechada de raio em
:
(ii) A bola fechada de raio
pois todo ponto satisfaz
.
(iii) Um conjunto finito, por exemplo
(iii) Um conjunto finito, por exemplo
já que seus elementos têm valor absoluto no máximo
.
Passo 4
Três exemplos de conjuntos não-limitados (com justificativa):
(i) A reta inteira
(i) A reta inteira
não é limitada porque não existe
tal que
para todo
.
(ii) O semirreta
(ii) O semirreta
pois os pontos crescem sem limite em direção a
.
(iii) O plano
(iii) O plano
que é não-limitado em qualquer direção em
.
Resposta
(a) Conjuntos limitados:
,
,
.
Conjuntos não-limitados:
,
,
.