Resolva, no sentido L S Q, o sistema linear dado. A solução encontrada é solução no sentido habitual?
lx+y=2 x-y=1 x+2 y=3

Passo 1

O enunciado pede para resolver, no sentido dos mínimos quadrados (LSQ), o sistema sobredeterminado
x+y=2, x-y=1, x+2y=3,
ou seja, encontrar (x,y) que minimize o somatório dos quadrados dos resíduos. Para isso vamos usar as equações normais do método dos mínimos quadrados.

Passo 2

Montamos a matriz de coeficientes A e o vetor dos termos independentes b:
A = 1 & 1 1 & -1 1 & 2 , b = 2 1 3

Passo 3

Formamos as equações normais
A^T A ,x = A^T b
Calculamos
A^T A = 1+1+1 & 1-1+2 1-1+2 & 1+1+4 = 3 & 22 & 6,
A^T b = 1cdot2 + 1cdot1 + 1cdot3 1cdot2 + (-1)cdot1 + 2cdot3 = 67

Passo 4

Resolvendo
temos da primeira linha e da segunda . Da primeira . Substituindo na segunda:

Passo 5

Calculamos os resíduos para ver se a solução minimiza o erro e se resolve exatamente o sistema original:
r1 = x+y-2 = 117+914-2 = 314, r2 = x-y-1 = 117-914-1 = -114,
r3 = x+2y-3 = 117+2cdot914-3 = -17
Os resíduos não são todos zero, mas (x,y)=(11/7,9/14) é o minimizador do somatório dos quadrados dos resíduos.

Resposta

A solução no sentido dos mínimos quadrados é
boxedl(x,yr)=l(tfrac117,,tfrac914r)
Essa solução não satisfaz exatamente todas as equações originais (os resíduos não são nulos), logo não é solução no sentido habitual.