RESOLVA POR TRANSFORMADAS DE LAPLACE
\frac{\partial w}{\partial x}+x \frac{\partial w}{\partial t}=x, w(x, 0)=1, w(0, t)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver, via transformada de Laplace no tempo, a equação em derivadas parciais
\frac{\partial w}{\partial x} + x\,\frac{\partial w}{\partial t} = x,
com as condições iniciais \;w(x,0)=1 e de contorno \;w(0,t)=1.
O método consiste em aplicar \mathcal{L}\{\cdot\} em t, resolver a ODE resultante em x, e depois inverter a transformada.

Passo 2

Definimos
W(x,s) = \mathcal{L}\{w(x,t)\} = \int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,w(x,t)\,dt.
Aplicando a transformada em cada termo da PDE usamos
\mathcal{L}\{\partial w/\partial x\} = \partial W/\partial x
e
\mathcal{L}\{\partial w/\partial t\} = s\,W - w(x,0)=s\,W - 1.
Também
\mathcal{L}\{x\} = x\int_{0}^{\infty}e^{-s t}dt = x\,\tfrac{1}{s}.

Passo 3

A equação transformada fica
\frac{\partial W}{\partial x} + x\,(s\,W - 1) = \frac{x}{s},
ou seja
\frac{dW}{dx} + s\,x\,W = x + \frac{x}{s} = x\Bigl(1 + \tfrac1s\Bigr).

Passo 4

É uma ODE linear em x. O fator integrante é
\mu(x) = \exp\!\biggl(\int s\,x\,dx\biggr) = e^{\frac{s\,x^2}{2}}.
Multiplicando por \mu e integrando de 0 a x, usando W(0,s)=\mathcal{L}\{w(0,t)\}=1/s, temos
\frac{d}{dx}\Bigl(W\,e^{\frac{s x^2}{2}}\Bigr) = \Bigl(1+\tfrac1s\Bigr)x\,e^{\frac{s x^2}{2}} \;\Longrightarrow\; W(x,s)\,e^{\frac{s x^2}{2}} = \frac{1}{s} + \frac{s+1}{s}\!\int_{0}^{x}\xi\,e^{\frac{s\xi^2}{2}}d\xi.
Como
\int_{0}^{x}\xi\,e^{\frac{s\xi^2}{2}}d\xi=\tfrac{1}{s}(e^{\frac{s x^2}{2}}-1),
segue

Passo 5

W(x,s)\,e^{\frac{s x^2}{2}} = \frac{1}{s} + \frac{s+1}{s^2}\Bigl(e^{\tfrac{s x^2}{2}}-1\Bigr) = -\frac{1}{s^2} + \frac{s+1}{s^2}\,e^{\frac{s x^2}{2}} \;\Longrightarrow\; W(x,s) = \frac{s+1}{s^2} - \frac{1}{s^2}\,e^{-\frac{s x^2}{2}}.

Passo 6

Agora invertemos em t. Note que
\tfrac{s+1}{s^2} = \tfrac{1}{s} + \tfrac{1}{s^2}
e
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s^2}e^{-a s}\} = (t - a)\,H(t - a).
Logo
w(x,t) = \underbrace{1}_{\mathcal{L}^{-1}(1/s)} + \underbrace{t}_{\mathcal{L}^{-1}(1/s^2)} - \underbrace{\bigl(t - \tfrac{x^2}{2}\bigr)H\bigl(t - \tfrac{x^2}{2}\bigr)}_{\mathcal{L}^{-1}\bigl(\tfrac{1}{s^2}e^{-\tfrac{s x^2}{2}}\bigr)}.

Resposta

w(x,t)=1 + t \; - \; \bigl(t - \tfrac{x^2}{2}\bigr)\,H\!\bigl(t - \tfrac{x^2}{2}\bigr)\
ou, equivalentemente,
w(x,t)= \begin{cases} 1 + t, & t < \tfrac{x^2}{2},\\[6pt] 1 + \tfrac{x^2}{2}, & t \ge \tfrac{x^2}{2}. \end{cases}]