RESOLVA POR TRANSFORMADAS DE LAPLACE
\frac{\partial w}{\partial x}+x \frac{\partial w}{\partial t}=x, w(x, 0)=1, w(0, t)=1
\frac{\partial w}{\partial x}+x \frac{\partial w}{\partial t}=x, w(x, 0)=1, w(0, t)=1
Passo 1
O enunciado pede para resolver, via transformada de Laplace no tempo, a equação em derivadas parciais
com as condições iniciais
e de contorno
.
O método consiste em aplicar em
, resolver a ODE resultante em
, e depois inverter a transformada.
O método consiste em aplicar
Passo 2
Definimos
Aplicando a transformada em cada termo da PDE usamos
e
.
Também
.
e
Também
Passo 3
A equação transformada fica
ou seja
Passo 4
É uma ODE linear em
. O fator integrante é
Multiplicando por
e integrando de
a
, usando
, temos
Como
,
segue
segue
Passo 5
Passo 6
Agora invertemos em
. Note que
e
.
Logo
e
Logo
Resposta
ou, equivalentemente,