Resolver cada uma das seguintes equações diferenciais.
d yd x+2 x y=e^3 x(3+2 x)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem linear
dydx+2x,y=e^3x(3+2x),
ou seja, do tipo
y'+P(x),y=Q(x)
com P(x)=2x e Q(x)=e^3x(3+2x). Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Calcular o fator integrante mu(x), que é
mu(x)=expl(integral P(x),dxr) =expl(integral 2x,dxr) =exp(x^2)

Passo 3

Multiplicando a equação original por mu(x)=e^x^2 obtemos
e^x^2,y'+2x,e^x^2,y =(e^x^2y)';=;e^x^2,e^3x(3+2x)

Passo 4

Note que
ddxl(e^x^2+3xr) =e^x^2+3x(2x+3) =e^x^2,e^3x(2x+3)
Portanto o lado direito de
(e^x^2y)'=e^x^2e^3x(3+2x)
é exatamente a derivada de e^x^2+3x.

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a x, temos
e^x^2y =integral e^x^2+3x(3+2x),dx =;e^x^2+3x+C,
onde C é a constante de integração. Logo
y =e^x^2+3x+Ce^x^2 =e^3x+C,e^-x^2

Resposta

boxedy(x)=e^3x+C,e^-x^2,
onde C é uma constante arbitrária.