Uma reta perpendicular a uma face de um diedro forma um ângulo de o bissetor desse diedro. Quanto mede o diedro?
Passo 1
O enunciado tem um diedro de medida , cujo bissetor divide o ângulo diedral em duas partes iguais de . Uma reta é perpendicular a uma das faces desse diedro e forma com o bissetor. Para facilitar, vamos intersectar tudo por um plano perpendicular à aresta do diedro: em tal seção, cada face vira uma reta passando pelo ponto , formando um ângulo de abertura ; o bissetor vira uma reta que faz com cada face; e a reta vira uma reta em que é perpendicular à reta representante da face escolhida, ou seja, forma com ela.
Passo 2
Na seção plana, chamemos de a reta que representa a face em que é perpendicular, de a bissetor, e de a outra face. Temos:
;
.
Logo, o ângulo entre e é a diferença entre e .
Passo 3
Pelo enunciado, esse ângulo vale . Assim, escrevemos
Como de<a<180^circ num diedro convexo, 90^circ - de<a/2>0 e podemos tirar o módulo diretamente.
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 10: Geometria espacial - Posição e métrica - 7ª Edição - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 126