Uma reta perpendicular a uma face de um diedro forma um ângulo de 50^circ com o bissetor desse diedro. Quanto mede o diedro?

Passo 1

O enunciado tem um diedro de medida de<a, cujo bissetor divide o ângulo diedral em duas partes iguais de de<a/2. Uma reta ell é perpendicular a uma das faces desse diedro e forma 50^circ com o bissetor. Para facilitar, vamos intersectar tudo por um plano perpendicular à aresta do diedro: em tal seção, cada face vira uma reta passando pelo ponto O, formando um ângulo de abertura de<a; o bissetor vira uma reta que faz de<a/2 com cada face; e a reta ell vira uma reta em O que é perpendicular à reta representante da face escolhida, ou seja, forma 90^circ com ela.

Passo 2

Na seção plana, chamemos de r1 a reta que representa a face em que ell é perpendicular, de b a bissetor, e de r2 a outra face. Temos:
  • ang<=(r1,b)=de<a/2;
  • ang<=(r1,ell)=90^circ.
    Logo, o ângulo entre ell e b é a diferença entre 90^circ e de<a/2.

Passo 3

Pelo enunciado, esse ângulo vale 50^circ. Assim, escrevemos
l|,90^circ - de<a2r| = 50^circ
Como de<a<180^circ num diedro convexo, 90^circ - de<a/2>0 e podemos tirar o módulo diretamente.

Passo 4

Resolvendo
90^circ - de<a2 = 50^circ Longrightarrow de<a2 = 40^circ Longrightarrow de<a = 80^circ

Resposta

O diedro mede 80^circ.