Quais são os maiores valores de n para que n! tenha menos que 100 dígitos decimais e menos que 1000 dígitos decimais?

Passo 1

O enunciado pede os maiores valores de n tais que n! tenha menos de 100 dígitos decimais e menos de 1000 dígitos decimais. O conteúdo principal é contar dígitos de um fatorial, usando a relação
\text{número de dígitos de }n! \;=\;\bigl\lfloor \log_{10}(n!)\bigr\rfloor +1,úí
e vamos precisar de uma forma eficaz de estimar \log_{10}(n!), por exemplo via fórmula de Stirling ou a forma aproximada de Kamenetsky.

Passo 2

Para aplicar a fórmula, lembramos que, mais precisamente,
\log_{10}(n!) \approx \tfrac12\log_{10}\bigl(2\pi n\bigr)\;+\;n\bigl(\log_{10}n-\log_{10}e\bigr).
Essa expressão nos dá, com boa precisão já para n moderados, a ordem de grandeza de \log_{10}(n!). Depois utilizamos
D(n)=\lfloor \log_{10}(n!)\rfloor+1
para achar o número de dígitos.

Passo 3

Menos de 100 dígitos significa
\log_{10}(n!)<99.
Definindo
A(n)=\tfrac12\log_{10}(2\pi n)+n\bigl(\log_{10}n-\log_{10}e\bigr),
procuramos o maior inteiro n com A(n)<99. Fazendo testes aproximados:
Para n=69:
\log_{10}(69)\approx1.83885,\quad69(\log_{10}69-\log_{10}e)\approx96.8953,
\tfrac12\log_{10}(2\pi\cdot69)\approx1.3187,
A(69)\approx96.8953+1.3187=98.2140<99 \quad\Longrightarrow\quad D(69)=\lfloor98.2140\rfloor+1=99.
Para n=70:
\log_{10}(70)\approx1.84510,\quad70(\log_{10}70-\log_{10}e)\approx98.7563,
\tfrac12\log_{10}(2\pi\cdot70)\approx1.3217,
A(70)\approx98.7563+1.3217=100.0780>99 \quad\Longrightarrow\quad D(70)=\lfloor100.0780\rfloor+1=101.
Logo, o maior n com menos de 100 dígitos é n=69.

Passo 4

Menos de 1000 dígitos significa
\log_{10}(n!)<999.
Repetimos o mesmo teste aproximado para achar o limiar:
Para n=449:
\log_{10}(449)\approx2.65246,\quad449(\log_{10}449-\log_{10}e)\approx996.956,
\tfrac12\log_{10}(2\pi\cdot449)\approx1.7252,
A(449)\approx996.956+1.7252=998.6812<999 \quad\Longrightarrow\quad D(449)=\lfloor998.6812\rfloor+1=999.
Para n=450:
\log_{10}(450)\approx2.65321,\quad450(\log_{10}450-\log_{10}e)\approx998.512,
\tfrac12\log_{10}(2\pi\cdot450)\approx1.7260,
A(450)\approx998.512+1.7260=1000.238>999 \quad\Longrightarrow\quad D(450)=\lfloor1000.238\rfloor+1=1001.
Assim, o maior n com menos de 1000 dígitos é n=449.

Resposta

O maior n com menos de 100 dígitos é 69.
O maior n com menos de 1000 dígitos é 449.