Quais são os maiores valores de
para que
tenha menos que 100 dígitos decimais e menos que 1000 dígitos decimais?
Passo 1
O enunciado pede os maiores valores de
tais que
tenha menos de 100 dígitos decimais e menos de 1000 dígitos decimais. O conteúdo principal é contar dígitos de um fatorial, usando a relação
e vamos precisar de uma forma eficaz de estimar
, por exemplo via fórmula de Stirling ou a forma aproximada de Kamenetsky.
Passo 2
Para aplicar a fórmula, lembramos que, mais precisamente,
Essa expressão nos dá, com boa precisão já para
moderados, a ordem de grandeza de
. Depois utilizamos
para achar o número de dígitos.
Passo 3
Menos de 100 dígitos significa
Definindo
procuramos o maior inteiro
com
. Fazendo testes aproximados:
Para
:
Para
:
Logo, o maior
com menos de 100 dígitos é
.
Passo 4
Menos de 1000 dígitos significa
Repetimos o mesmo teste aproximado para achar o limiar:
Para
:
Para
:
Assim, o maior
com menos de 1000 dígitos é
.
Resposta
O maior
com menos de 100 dígitos é
.
O maior com menos de 1000 dígitos é
.
O maior