O que são séries de potências? Qual a razão de sua grande importância na análise complexa?

Passo 1

O enunciado pede que a gente explique o que é uma série de potências e por que ela é tão fundamental em análise complexa. Para isso, vamos precisar definir sua forma geral, discutir seu raio de convergência e, em seguida, relacionar essas séries com as funções holomorfas (analíticas) no plano complexo.

Passo 2

Uma série de potências centrada em z_{0} é uma soma infinita da forma
\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\,(z - z_{0})^{n},
onde \{a_{n}\} é uma sequência de coeficientes complexos e z é a variável complexa. Cada termo é um monômio em (z - z_{0}) e a série se assemelha a um polinômio de grau infinito.

Passo 3

Nem toda série de potências converge para todo z. Existe um raio de convergência R\in[0,\infty] dado por
\frac{1}{R} = \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\lvert a_{n}\rvert}.
Dentro do disco \lvert z - z_{0}\rvert < R, a série converge absolutamente e uniformemente em todo subconjunto compacto, permitindo operar soma, derivada e integral termo a termo.

Passo 4

Em análise complexa, uma função f é holomorfa num ponto z_{0} se e somente se ela pode ser escrita como série de potências naquele ponto (Teorema de Taylor). Isso traz várias consequências poderosas:
  • unicidade da extensão analítica (duas séries que coincidem em um conjunto com ponto de acumulação são iguais em toda a região comum de convergência);
  • cálculo de derivadas de ordem arbitrária por simples fator n nos coeficientes;
  • estudo de singularidades (pólos, essenciais) via expansão de Laurent;
  • fórmulas integrais de Cauchy e estimativas de coeficientes.

Resposta

Séries de potências são somas da forma
\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\,(z - z_{0})^{n}
com raio de convergência R. São cruciais em análise complexa porque caracterizam exatamente as funções holomorfas: toda função analítica admite expansão em série de potências localmente, o que garante unicidade, possibilidade de derivar e integrar termo a termo, além de estudar singularidades e realizar extensões analíticas de modo sistemático.