Ex. 1.16 - O que as seguintes afirmações significam? Elas são universais ou particulares? Elas são verdadeiras? Dê exemplos e contraexemplos quando possível. O universo de discurso em todos os casos é os números naturais.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Passo 1
O enunciado pede para interpretar seis fórmulas com quantificadores sobre o conjunto dos números naturais, dizer se cada afirmação é de caráter universal (começa com
) ou particular (começa com
), avaliar sua veracidade e dar exemplos ou contraexemplos em cada caso. Vamos usar a definição de verdade de fórmulas quantificadas em
e o fato de que
não tem maior nem menor estrito absoluto.
Passo 2
Interpretação de a):
– é uma afirmação de caráter universal (começa com ).
Verificamos se, para cada natural , existe algum
em
tal que
.
Exemplo construtivo: dado , basta escolher
, pois sempre
.
Logo, a afirmação é verdadeira.
– é uma afirmação de caráter universal (começa com
Verificamos se, para cada natural
Exemplo construtivo: dado
Logo, a afirmação é verdadeira.
Passo 3
Interpretação de b):
– é de caráter particular (começa com ).
Isso diz que existe um natural maior que todos os
em
, ou seja, um maior elemento em
.
Mas não tem maior elemento: para qualquer candidato
, tome
e então
falha ou tome
e
falha.
Portanto, é falsa.
– é de caráter particular (começa com
Isso diz que existe um natural
Mas
Portanto, é falsa.
Passo 4
Interpretação de c):
– é particular.
Significa que existe um natural que seja estritamente menor que todo
em
.
Se existisse, teria que valer , para
, o que é impossível.
Logo, não há elemento estritamente menor que todos; é falsa.
– é particular.
Significa que existe um natural
Se existisse, teria que valer
Logo, não há elemento estritamente menor que todos; é falsa.
Passo 5
Interpretação de d):
– é universal.
Diz que todo natural tem algum predecessor estrito
.
Mas para (ou para o primeiro elemento de
), não existe
.
Então, é falsa.
– é universal.
Diz que todo natural
Mas para
Então, é falsa.
Passo 6
Interpretação de e):
– é particular.
Basta mostrar dois naturais em ordem: por exemplo, e
satisfazem
.
Logo, é verdadeira.
– é particular.
Basta mostrar dois naturais em ordem: por exemplo,
Logo, é verdadeira.
Passo 7
Interpretação de f):
– é universal.
Afirma que qualquer par satisfaz
, mas basta escolher
ou
para ver que falha.
Logo, é falsa.
– é universal.
Afirma que qualquer par
Logo, é falsa.
Resposta
a) universal, verdadeira (ex.: para
escolher
).
b) particular, falsa ( não tem maior elemento).
c) particular, falsa (nenhum está estritamente abaixo de si mesmo).
d) universal, falsa (o menor elemento não tem predecessor).
e) particular, verdadeira (ex.: ).
f) universal, falsa (nem sempre para todo par).
b) particular, falsa (
c) particular, falsa (nenhum
d) universal, falsa (o menor elemento não tem predecessor).
e) particular, verdadeira (ex.:
f) universal, falsa (nem sempre