[01] Seja
definida por
.
(a) Mostre que o ponto
pertence à curva de nível
de
associada ao nível
.
(b) Use o teorema da função implícita para demonstrar que existe uma função
definida em um intervalo
aberto contendo
tal que
e
para todo
.
(c) Use o teorema da função implícita para calcular
.
(d) Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
.
(a) Mostre que o ponto
(b) Use o teorema da função implícita para demonstrar que existe uma função
(c) Use o teorema da função implícita para calcular
(d) Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de
Passo 1
O enunciado define a função
e a curva de nível
As tarefas são:
(a) verificar que pertence a
;
(b) usar o Teorema da Função Implícita para mostrar que existe com
e
;
(c) calcular ;
(d) achar a reta tangente ao gráfico de em
.
(a) verificar que
(b) usar o Teorema da Função Implícita para mostrar que existe
(c) calcular
(d) achar a reta tangente ao gráfico de
Passo 2
Para (a), calculamos
:
Como
, o ponto
pertence a
.
Passo 3
Para aplicar o Teorema da Função Implícita, precisamos
em
. Calculamos
logo em
temos
Assim existe um
definido num intervalo aberto em torno de
com
e
.
Passo 4
Para (c), derivamos implicitamente
ou seja
Como
e já temos
, segue
Passo 5
Para (d), a reta tangente ao gráfico de
em
tem equação
Resposta
(a)
pertence a
pois
.
(b) Pelo Teorema da Função Implícita existe com
e
.
(c) .
(d) Reta tangente: .
(b) Pelo Teorema da Função Implícita existe
(c)
(d) Reta tangente: