[01] Seja F: R^2 R definida por z=F(x, y)=x^2-x y^3+y^5.
(a) Mostre que o ponto p=(5,2) pertence à curva de nível
F17=(x, y) in R^2 mid F(x, y)=17
de F associada ao nível z=17.
(b) Use o teorema da função implícita para demonstrar que existe uma função f: I subset R R definida em um intervalo I aberto contendo x=5 tal que f(5)=2 e F(x, f(x))=17 para todo x in I.
(c) Use o teorema da função implícita para calcular f^prime(5).
(d) Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (5,2).

Passo 1

O enunciado define a função
F(x,y)=x^2-x y^3+y^5
e a curva de nível
F17=(x,y)inR^2mid F(x,y)=17
As tarefas são:
(a) verificar que p=(5,2) pertence a F17;
(b) usar o Teorema da Função Implícita para mostrar que existe f com f(5)=2 e F(x,f(x))=17;
(c) calcular f'(5);
(d) achar a reta tangente ao gráfico de f em (5,2).

Passo 2

Para (a), calculamos F(5,2):
F(5,2)=5^2-5cdot2^3+2^5=25-5cdot8+32=25-40+32=17
Como F(5,2)=17, o ponto p=(5,2) pertence a F17.

Passo 3

Para aplicar o Teorema da Função Implícita, precisamos
partial F/partial yneq0 em p. Calculamos
partial Fpartial y(x,y)=-3x y^2+5y^4,
logo em (5,2) temos
partial Fpartial y(5,2)=-3cdot5cdot2^2+5cdot2^4=-60+80=20neq0
Assim existe um f definido num intervalo aberto em torno de x=5 com f(5)=2 e F(x,f(x))=17.

Passo 4

Para (c), derivamos implicitamente
F(x,f(x))=17Longrightarrow partial Fpartial x+ partial Fpartial y,f'(x)=0,
ou seja
f'(x)=-Fx(x,f(x))Fy(x,f(x))
Como
Fx(x,y)=2x-y^3, Fx(5,2)=10-8=2,
e já temos Fy(5,2)=20, segue
f'(5)=-220=-110

Passo 5

Para (d), a reta tangente ao gráfico de f em (5,2) tem equação
y - f(5)=f'(5),(x-5) Longrightarrow y-2=-110(x-5)

Resposta

(a) p=(5,2) pertence a F17 pois F(5,2)=17.
(b) Pelo Teorema da Função Implícita existe f com f(5)=2 e F(x,f(x))=17.
(c) f'(5)=-tfrac110.
(d) Reta tangente: y-2=-110(x-5).