Seja y=x^m(1-x^n), onde m, n são números naturais. Verifique:
Se n é par, y tem um ponto de mínimo em x=1.

Passo 1

O enunciado define a função
y = x^ml(1 - x^nr),
com m,ninN, e pede para verificar se, quando n é par, existe em x=1 um ponto de mínimo. Para isso vamos usar o teste da primeira derivada: um ponto extremo deve satisfazer y'(x)=0. Se y'(1)neq0, então x=1 não é ponto crítico e, portanto, não é extremo.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada por produto:
y' = ddxl(x^mr),(1 - x^n) + x^m,ddxl(1 - x^nr) = m,x^m-1(1 - x^n) - n,x^m+n-1
Agrupando fatores comuns em x^m-1:
y' = x^m-1l[m(1 - x^n) - n,x^nr] = x^m-1l[m - (m+n),x^nr]
Avaliaremos em x=1:
y'(1) = 1^,m-1l[m - (m+n)cdot1^nr] = m - (m+n) = -n

Passo 3

Como n é natural e par, n>0, segue que
y'(1) = -n ;<;0,
ou seja, a derivada em x=1 não se anula. Logo x=1 não é ponto crítico, e portanto não pode ser ponto de mínimo.

Resposta

A afirmação é falsa: mesmo com n par, em x=1 não há ponto de mínimo porque y'(1)=-nneq0.