Seja
, onde
são números naturais. Verifique:
Se
é par,
tem um ponto de mínimo em
.
Se
Passo 1
O enunciado define a função
com
, e pede para verificar se, quando
é par, existe em
um ponto de mínimo. Para isso vamos usar o teste da primeira derivada: um ponto extremo deve satisfazer
. Se
, então
não é ponto crítico e, portanto, não é extremo.
Passo 2
Calculamos a primeira derivada por produto:
Agrupando fatores comuns em
:
Avaliaremos em
:
Passo 3
Como
é natural e par,
, segue que
ou seja, a derivada em
não se anula. Logo
não é ponto crítico, e portanto não pode ser ponto de mínimo.
Resposta
A afirmação é falsa: mesmo com
par, em
não há ponto de mínimo porque
.