Seja E=a,a. Diga quais das proposições abaixo são verdadeiras.
a) a in E
b) a in E
c) a subset E
d) a subset E
e) varnothing in E
f) varnothing subset E

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
E = a,a
e pede para verificar, para cada proposição envolvendo “ in” (pertence) e “ subset” (subconjunto), se ela é verdadeira ou falsa. Vamos usar as definições:
,x in A significa que x é um elemento de A.
,B subset A significa que todo elemento de B também é elemento de A.

Passo 2

Identificamos explicitamente os elementos de E:
Os e<=mentos de E são aea ã

Passo 3

Aplicamos a definição de pertença para
,ain E e ,ain E.
– Como a está listado em E, temos ,ain E verdadeira.
– Como a também está listado em E, temos ,ain E verdadeira.

Passo 4

Analisamos ,asubset E.
Para ,asubset E seria preciso que a fosse um conjunto cujos elementos estão em E. Mas a aqui é um elemento “atômico” (não é apresentado como conjunto), logo não faz sentido exigir que seus elementos pertençam a E. Assim, ,asubset E é falsa.

Passo 5

Analisamos ,asubset E.
Pelo definição de subconjunto, verificamos cada elemento de a, que é somente a; como já vimos ain E, concluímos que todo elemento de a está em E. Logo, ,asubset E é verdadeira.

Passo 6

Analisamos ,varnothingin E.
O conjunto vazio varnothing não está listado entre os elementos de E (que são apenas a e a). Portanto, ,varnothingin E é falsa.

Passo 7

Analisamos ,varnothingsubset E.
Por definição, o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. Logo, ,varnothingsubset E é verdadeira.

Resposta

(a) verdadeira
(b) verdadeira
(c) falsa
(d) verdadeira
(e) falsa
(f) verdadeira