Seja
. Diga quais das proposições abaixo são verdadeiras.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto
e pede para verificar, para cada proposição envolvendo “
” (pertence) e “
” (subconjunto), se ela é verdadeira ou falsa. Vamos usar as definições:
– significa que
é um elemento de
.
– significa que todo elemento de
também é elemento de
.
–
–
Passo 2
Identificamos explicitamente os elementos de
:
Passo 3
Aplicamos a definição de pertença para
e
.
– Como está listado em
, temos
verdadeira.
– Como também está listado em
, temos
verdadeira.
– Como
– Como
Passo 4
Analisamos
.
Para seria preciso que
fosse um conjunto cujos elementos estão em
. Mas
aqui é um elemento “atômico” (não é apresentado como conjunto), logo não faz sentido exigir que seus elementos pertençam a
. Assim,
é falsa.
Para
Passo 5
Analisamos
.
Pelo definição de subconjunto, verificamos cada elemento de , que é somente
; como já vimos
, concluímos que todo elemento de
está em
. Logo,
é verdadeira.
Pelo definição de subconjunto, verificamos cada elemento de
Passo 6
Analisamos
.
O conjunto vazio não está listado entre os elementos de
(que são apenas
e
). Portanto,
é falsa.
O conjunto vazio
Passo 7
Analisamos
.
Por definição, o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. Logo, é verdadeira.
Por definição, o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. Logo,
Resposta
(a) verdadeira
(b) verdadeira
(c) falsa
(d) verdadeira
(e) falsa
(f) verdadeira
(b) verdadeira
(c) falsa
(d) verdadeira
(e) falsa
(f) verdadeira